Extra opgaven Groepentheorie

1. De permutatie groep P_{n} bestaat uit alle permutaties van n elementen. a. Hoeveel elementen telt deze groep? b. Bewijs dat deze groep niet Abels is. c. Geef twee ondergroepen aan voor P_{4}. d. Bewijs voor P_{3} dat deze groep geen normaaldelers heeft.

2. Een groepshomomorfisme is te beschouwen als een representatie van een groep binnen een andere groep, m.a.w. het is een afbeelding f : G → M waar G en M groepen zijn en waarbij f moet voldoen aan :

f(g_{1})f(g_{2}) = f(g_{1}g_{2}) ∀ g_{i}ϵG

a. Bewijs dat het beeld van G in M, f(G), een ondergroep van M is. De kern K_{f} van een groepshomomorfisme f is de verzameling van elementen die op het eenheidselement afgebeeld worden. Uit onderdeel a. volgt dat het eenheidselement altijd in de kern ligt (soms is het zelfs het enige element).

b. Bewijs dat K_{f} een normaaldeler van G.

3. Probeer simpel aan te geven waarom de Lorentz groep en de Poincaré groep geen compacte groepen zijn voor massieve deeltjes.

4. a. Welke waarden zijn toegestaan voor de determinanten van de elementen van de orthogonale groep O(n)?

b. Welke waarden zijn toegestaan voor de elementen van de unitaire groep U(n)?

c. Als een orthogonale groep geparametriseerd wordt volgens g = e^{θ_{i}T_{i}} wat kan er dan over de T_{i}’s gezegd worden?

d. Beantwoordt vraag c ook voor een unitaire groep.

5 Wat kun je zeggen over de elementen van de Lie algebra van een Abelse groep?