\documentclass{article}

\begin{document}

\noindent
{\em College 
Statistische Fysica 1. Najaar 1998 en 1999}

\bigskip
\medskip
\noindent
{\large{P.J.M. Bongaarts}}

\bigskip
\bigskip
\noindent
({\em hulp.tex}\,)

\medskip
\noindent
1 september 1998; 
met kleine correcties 
en aanvullingen 12 december 1999 

\medskip
\bigskip
\bigskip
\noindent
{\LARGE{HULPMATERIAAL
BIJ HET COLLEGE}}

\bigskip
\noindent 
{\LARGE{STATISTISCHE FYSICA 1}}

\bigskip
\bigskip
\noindent
Deze notitie bevat hulpmateriaal 
bij het college
en dient als aanvulling 
en gedeeltelijke vervanging van 
enkele in de syllabus van Denteneer
opgenomen appendices.

\bigskip
\newpage
\noindent
{\LARGE{\em Inhoud}}

\bigskip
\medskip
\noindent
THERMODYNAMICA  (pagina 3-10)

\bigskip
1. Inleiding

2. De eerste hoofdwet

3. De tweede hoofdwet

4. Thermodynamische relaties

5. De vrije energie

6. Een verdere generalisatie: 
variabele totale massa

7. De {\lq grand potential\rq}

8. Samenvattend schema

\bigskip
\medskip
\noindent
KANSREKENING  (pagina 11-15)

\bigskip
1. Inleiding

2. Discrete kansverdelingen

3. Continue kansverdelingen

4. Stelsels van kansgrootheden

5. Afhankelijkheid en 
correlatie van kansgrootheden

\bigskip
\medskip
\noindent
KLASSIEKE MECHANICA  (pagina 16-21)

\bigskip
1. Inleiding

2. De vergelijkingen van Newton

3. Overgang naar de formulering van Lagrange

4. Het Hamilton-formalisme

5. De Poisson-haak

6. Oscillatorsystemen

\bigskip
\medskip
\noindent
HET FORMALISME VAN DE 
QUANTUMMECHANICA  (pagina 22-26)

\bigskip
1. Toestanden

2. Observabele grootheden

3. Fysische interpretatie van 1 en 2

4. Tijdsevolutie

\medskip
\bigskip
\noindent
EEN SYSTEEM VAN VRIJE DEELTJES - 

\smallskip
\noindent
OPLOSSING VAN DE 
SCHR\"{O}DINGER VERGELIJKING  
(pagina 27-30)

\medskip
\bigskip
\noindent
GAUSSISCHE INTEGRALEN  
(pagina 31)

\bigskip
\noindent
INHOUD EN OPPERVLAK VAN EEN BOL 
IN $R^d$  (pagina 32)

\bigskip
\noindent
NATUURKUNDIGE THEORIEEN  
(pagina 32-34)

\bigskip
\newpage
\noindent
{\LARGE{THERMODYNAMICA}}
 
\medskip
\bigskip
\noindent
1. INLEIDING

\bigskip
\noindent
In deze notitie geef ik een overzicht van de basisbegrippen 
van de thermodynamica, zover ze nodig zijn voor dit college.
Afgezien van een enkele losse opmerking zal ik me daarbij beperken 
tot de thermodynamica van systemen in evenwicht.

\bigskip
\noindent
De thermodynamica beschrijft {\em macroscopische}\, systemen 
op een wijze die onafhankelijk is van microscopische inzichten. 
Haar oorsprong ligt in
studies van de effectiviteit van stoommachines 
aan het eind van de achttiende eeuw; 
de basiselelementen van de theorie zoals wij haar nu kennen 
dateren uit het midden van de 19de eeuw, 
toen men nog niet algemeen overtuigd was van 
de realiteit van atomen en moleculen.

\bigskip
\noindent
Als typisch voorbeeld van een thermodynamisch systeem 
kunnen we denken 
aan een in een container opgesloten gas. 
De grootheden 
die dit systeem thermodynamisch beschrijven 
zijn op de eerste plaats van mechanische aard: 
extensieve grootheden als de totale massa $M$, 
het volume $V$, en een intensieve grootheid als de druk $P$.
Uit de warmteleer komt een belangrijke intensieve grootheid: 
de (absolute) temperatuur $T$. 
Verder hebben we te maken met begrippen als 
door het systeem verrichtte mechanische arbeid 
en aan het systeem toegevoerde warmte.
Als we denken aan een systeem 
bestaande uit een brok materiaal van een geschikte soort 
kan de totale magnetisatie 
als thermodynamische grootheid optreden.
Omdat bij scheikundige processen 
meestal ook warmte wordt opgenomen of afgegeven, 
speelt de thermodynamica 
ook een belangrijke rol in scheikunde. 
Als thermodynamische grootheden treden 
dan op de hoeveelheden of de concentraties 
van de stoffen die aan zulke reacties deelnemen.

\bigskip
\noindent
Voor een systeem bestaande uit 
een vaste hoeveelheid $M$ van een gas, 
kunnen we de toestand 
geheel door twee basisgrootheden vastleggen. 
Een voor de handliggend tweetal is $V$ en $T$.
De druk $P$ zal dan een een functie 
van deze grootheden zijn. 
De relatie $P = f(V,T)$ 
noemt men de {\em toestandsvergelijking}. 
Deze functie $f(V,T)$ is karakteristiek voor het soort gas, 
waarmee we te maken hebben 
en kan {\em niet}\, door de thermodynamica worden geleverd. 
Voor een grammolecuul van een ideaal gas 
is dit
$$
P = \frac{RT}{V},
$$
de wet van {\em Boyle en Gay-Lussac}\,. 
Voor het eenvoudigste model van een niet-ideaal gas 
is er 
de toestandsvergelijking van {\em Van der Waals}\,,
$$
\left( P + \frac{a}{V^2} \right)(V - b)
= RT.
$$

\bigskip
\noindent
Bij een systeem in evenwicht zijn alle grootheden 
constant in de tijd; 
de intensieve grootheden hebben bovendien 
overal in het systeem dezelfde waarde.

\medskip
\bigskip
\noindent
2. DE EERSTE HOOFDWET

\bigskip
\noindent
We veronderstellen voorlopig 
dat we te maken hebben met systemen waarvan 
de totale massa $M$ constant is. 
De eerste hoofdwet van de thermodynamica luidt dan
$$
dU = dQ - PdV.
$$ 
In deze formule is $dQ$ de aan het systeem toegevoerde warmte, 
$PdV$ de door het systeem op de buitenwereld verrichtte arbeid. 
De formule zegt dat de toevoer van warmte 
en het verlies van energie door het verrichten van arbeid 
bijdragen zijn aan een totale energiebalans, 
d.w.z. dat het zinvol is om een toestands-grootheid $U$ 
te definieren, de {\em inwendige energie}\, van het systeem.

\bigskip
\noindent
We kunnen de collectie 
van alle mogelijke evenwichtstoestanden 
meetkundig voorstellen als een $2$-dimensionale ruimte, 
geparametriseerd door het paar variabelen $(V, T)$. 
We gaan dan van een toestand $(V_0, T_0)$ 
naar een toestand $(V, T)$ 
door middel van een kromme ${\gamma}$. 
Fysisch denken we daarbij 
aan een ge\"{\i}dealiseerd, 
zeer langzaam verlopend, 
z.g. {\em quasi-statisch}\, proces 
waarbij het systeem op ieder moment 
in evenwicht is.
De eerste hoofdwet zegt dat de integraal
$$
\int_{{\gamma}} \,
dQ - PdV
$$
onanfhankelijk is van de kromme ${\gamma}$, 
dus alleen afhangt van het beginpunt $(V_0, T_0)$ 
en het eindpunt $(V , T)$, 
en daarom gebruikt kan worden 
voor de definitie van een functie $U(V,T)$, 
volgens
$$
U(V,T) =
U(V_0, T_0) +
\int_{{\gamma}} \,
dQ - PdV.
$$
De functie $U(V,T)$ is daarbij 
op een constante na bepaald. 
Deze hangt af van de keuze van de waarde van $U$ 
in een willekeurig vast punt $(V_0,T_0)$. 
We zullen in het hierna volgende steeds veronderstellen 
dat we zo'n keuze hebben gemaakt.

\medskip
\bigskip
\noindent
3. DE TWEEDE HOOFDWET

\bigskip
\noindent
De tweede hoofdwet van de thermodynamica 
kan op verschillende manieren worden geformuleerd.
Voor de thermodynamica van systemen in evenwicht 
bijvoorbeeld als
$$
{\frac{dQ}{T}} = dS. 
$$
met daarin $T$ de (absolute) temperatuur. 
We kunnen spreken van de aan een voorwerp 
toegevoerde hoeveelheid warmte, 
maar {\em niet}\, van de in dat voorwerp 
aanwezige hoeveelheid warmte; 
m.a.w. er is geen toestandsgrootheid 
{\lq hoeveelheid warmte\rq} van een systeem.
Het is echter gebleken dat het quotient
$$
{\frac{dU + PdV}{T}},
$$
volgens de eerste hoofdwet gelijk aan 
$$
{\frac{dQ}{T}},
$$
{\em wel}\, 
een toestandsgrootheid definieert, 
d.w.z. dat bij kleine veranderingen het quotient
$$
{\frac{dQ}{T}} = dS
$$ 
een toestandsgrootheid $S=S(V,T)$ definieert, 
die we de {\em entropie}\, noemen. 
Ook de entropie is tot op een constante na bepaald.

\bigskip
\noindent
We kunnen hierbij opnieuw 
het meetkundige beeld gebruiken 
van de collectie mogelijke toestanden 
als een $2$-dimensionale 
door de variabelen $V$ 
en $F$ geparametriseerde ruimte.
De tweede hoofdwet zegt dan 
dat er een functie $S(V,T)$ is, 
die wordt gedefinieerd door 
de integratieformule
$$
S(V,T) = 
S(V_0, T_0) + 
\int_{\gamma}
\frac{dQ}{T},
$$
voor een willekeurige kromme 
${\gamma}$ van $(V_0, T_0)$ naar $(V,T)$. 
Daarbij komt de mogelijkheid om een waarde van $S$ 
te kiezen in het beginpunt $(V_a, T_a)$ 
weer overeen met het feit dat er een onbepaalde 
additieve constante in $S(V,T)$ voorkomt.

\bigskip
\noindent
OPMERKING: Als we de evenwichtstoestanden zien 
als bijzondere gevallen 
van algemenere thermodynamische toestanden, 
kunnen we een uitbreiding van de tweede hoofdwet formuleren:
de entropie van een evenwichtstoestand is {\em maximaal}, 
vergeleken met die van alle naburige niet-evenwichtstoestanden 
met dezelfde energie. 
Dit geeft een  belangrijke karakterisering 
van het begrip evenwicht.

\medskip
\bigskip
\noindent
4. THERMODYNAMISCHE RELATIES

\bigskip
\noindent
De eerste hoofdwet staat ons toe 
$U$ en $V$ inplaats van $V$ en $T$ 
als basisvariabelen te nemen.
Eerste en tweede hoofdwet samen geeft
$$
dS = {\frac{1}{T}}dU + {\frac{P}{T}}dV.
$$
Anderzijds hebben we voor 
$S$ als functie van $U$ en $V$ de uitdrukking
$$
dS = \left(\frac{{\partial}S}{{\partial}U} \right)_V dU +
\left(\frac{{\partial}S}{{\partial}V}\right)_U dV.
$$
De combinatie van deze twee formules geeft
$$
\frac{1}{T} =
\left( 
\frac{\partial S}{\partial U} 
\right)_V
$$
\mbox{}
$$
\frac{P}{T}=
\left(
\frac{\partial S}{ \partial V} 
\right)_U,
$$
m.a.w. als we $S$ als functie $S(U,V)$ bekend is, 
kunnen we daaruit $P=P(U,V)$ en $T=T(U,V)$ berekenen.

\bigskip
\noindent
OPMERKING: In de statistische mechanica komt men 
vanuit het {\em microkanoniek ensemble}\, 
tot de thermodynamica in deze opzet, 
met de basisvariabelen $U$ en $V$, 
en met de entropie $S=S(U,V)$ als centrale functie. 

\bigskip
\medskip
\noindent
5. DE VRIJE ENERGIE

\bigskip
\noindent
Het is soms handig om  
een nieuwe thermodynamische grootheid in te voeren, 
de {\em vrije energie}\,, gedefinieerd als
$$
F = U - TS
$$
We elimineren $U$ en vervangen daarmee $U$ en $V$ 
als basisgrootheden door $T$ en $V$.
Met $TdS = dU + PdV$ gaat dan de relatie
$$ 
dF = dU - d(TS) = dU - SdT - TdS
$$
over in
$$
dF = -PdV - SdT.
$$
Dit geeft ook weer thermodynamische relaties, n.l.
$$
P = - 
\left(
\frac{\partial F}{\partial V}
\right)_T
$$
\mbox{}
$$
S = -
\left(
\frac{\partial F}{\partial T} 
\right)_V.
$$

\medskip
\noindent
OPMERKING: In de statistische mechanica 
komt men met behulp 
van het {\em kanoniek ensemble}\, 
tot de thermodynamica 
in deze opzet, d.w.z. 
geformuleerd met de basisvariabelen $F$ en $F$,
en met de vrije energie $F=F(T,V)$ 
als centrale functie.

\medskip
\bigskip
\noindent
6. EEN VERDERE GENERALISATIE: 
VARIABELE TOTALE MASSA

\bigskip
\noindent
Bekijk nu systemen waaraan massa 
kan worden toegevoerd of onttrokken. 
Dat betekent dat we 
naast $U$ en $V$ ook nog $M$, 
de totale massa van het systeem, 
als basisvariabele hebben.
De formulering van de eerste hoofdwet 
moet worden aangepast;
de energiebalans krijgt een extra term. 
Ze luidt nu
$$
dU = dQ -PdV + {\mu}dM,
$$
met daarin ${\mu}$ 
de {\em chemische potentiaal}\,, 
de grootheid die aangeeft 
hoeveel de energie van het systeem toeneemt 
bij toevoeging van de eenheid van massa.
De eerste hoofdwet zegt 
dat er een {\em extensieve}\, 
toestandsgrootheid $U = U(V,T, M)$ bestaat,
die aan bovenstaande relatie voldoet.
In de inleiding hebben we al gesproken 
van {\em intensieve}\, 
en {\em extensieve}\, variabelen. 
De intu\"{\i}tieve 
betekenis van die begrippen is duidelijk;
met $M$ als extra thermodynamische 
variabele 
kunnen we preciese definities geven:

\bigskip
\noindent
Een thermodynamische grootheid 
$R = R(V, T, M)$ 
heet {\em intensief}\,, 
als geldt
$$
R({\lambda}V, T, {\lambda}M) = R(V, T, M),
$$
en {\em extensief}\, als
$$
R({\lambda}V, T, {\lambda}M) = 
{\lambda} R(V, T, M),
$$
voor alle re\"{e}le ${\lambda}$ ongelijk aan $0$.

\bigskip
\noindent
Voor een constante hoeveelheid materie 
$M$ is $U(V,T)$ bepaald tot op een additieve constante. 
Vanwege het extensieve karakter is $U(V,T,M)$ 
daarom bepaald tot op een additieve term $aM$, 
met $a$ een constante.
Het is duidelijk dat deze onbepaaldheid in $U$ 
ook een onbepaaldheid in ${\mu}$ met zich mee brengt. 
We nemen in het volgende ook weer aan 
dat we een keuze hebben gemaakt, 
waardoor $U$ en ${\mu}$ 
verder eenduidig bepaalde grootheden zijn.

\bigskip
\noindent
De tweede hoofdwet zegt vervolgens 
dat er een toestandsgrootheid $S$ bestaat. 
Deze moet ook extensief zijn, 
hetgeen voor de keuze van
$U$, $V$ en $M$  
als basisvariabelen betekent dat
$S({\lambda}U, {\lambda}V, {\lambda}M)$ 
voor alle ${\lambda}$ 
gelijk moet zijn aan ${\lambda} S(U,V,M)$.
Deze extensiviteit impliceert ook
dat $S$ bepaald is tot op constante maal $M$.
We schrijven de formule van de tweede hoofdwet weer als
$$
\frac{dQ}{T} = dS.
$$
Combinatie van eerste en tweede hoofdwet 
geeft nu
$$
dS = \frac{1}{T} dU + \frac{P}{T} dV - 
\frac{\mu}{T}dM.
$$
Merk op dat de onbepaaldheid 
$S \rightarrow S^{\prime} = S + cM$
correspondeert met een onbepaaldheid 
${\mu} \rightarrow {\mu}^{\prime} = {\mu} - cT$.
We hebben {\em drie} 
thermodynamische relaties
$$
\frac{1}{T} =
\left(
\frac{ \partial S }{ \partial U }
\right)_{V,M}
$$
\mbox{}
$$
\frac{P}{T} =
\left( \frac{ \partial S }{ \partial V }
\right)_{U,M} 
$$
met daarbij als derde relatie
$$
- \frac{\mu}{T} =
\left(
\frac{ \partial S }{ \partial M }
\right)_{U, V}.
$$
Hiermee bepaalt $S(U,V,M)$ 
de grootheden $P$, $T$ 
en ${\mu}$
als functies van $U$, $V$ en $M$.
Merk nog op dat uit deze formule volgt 
dat $P$, $T$ en ${\mu}$ 
{\em intensieve grootheden}\, zijn, 
hetgeen bijvoorbeeld voor $T$ betekent 
dat $T({\lambda}U,{\lambda}V, {\lambda}M)$ 
gelijk is aan $T(U, V, M)$, 
voor alle ${\lambda}$, 
dit in overeenstemming met ons fysisch inzicht.

\medskip
\bigskip
\noindent
7. DE {\lq GRAND POTENTIAL\rq}

\bigskip
\noindent
In de situatie waarin we $M$ 
als variabele beschouwen is het met het oog 
op de relatie met de statistische mechanica 
handig om, in plaats van de vrije energie 
$F = U - TS$,  
de z.g. {\lq {\em grand potential}\rq} in te voeren.
Deze wordt gedefini\"{e}erd als
$$
{\Phi} = U - TS - {\mu}M.
$$
We elimineren $U$, 
kiezen daarmee $V$, $T$ en ${\mu}$ 
als basisvariabelen, 
en krijgen de formule
$$
d{\Phi} = - PdV - SdT - Md{\mu}.
$$
Kennis van die grootheid als functie van 
$V$, $T$ en ${\mu}$ geeft $P$, $S$ en $M$, 
via de thermodynamische relaties
$$
P = - 
\left(
\frac{\partial \Phi}{\partial V} 
\right)_{T, {\mu}}
$$
\mbox{}
$$
S = - 
\left(
\frac{\partial \Phi}{\partial T} 
\right)_{V,{\mu}}
$$
\mbox{}
$$
M = - 
\left(
\frac{\partial \Phi}{\partial {\mu}} 
\right)_{V,T}.
$$
Uit het feit dat ${\Phi} = {\Phi}(V, T, {\mu})$ 
een extensieve grootheid is 
volgt nog een extra relatie tussen ${\Phi}$, $P$ en $V$.
De extensiviteit van ${\Phi}$ betekent 
$$
{\Phi}({\lambda}V, T, {\mu}) = {\lambda}{\Phi}(V,T, {\mu}),
$$
voor alle ${\lambda}$. 
Beide kanten naar ${\lambda}$ differenti\"{e}ren 
en vervolgens ${\lambda} = 1$ substitueren geeft
$$
\left( 
\frac{\partial \Phi}{\partial V}
\right)_{T, {\mu}} V = {\Phi}.
$$ 
Met de eerste van 
de drie thermodynamische relaties wordt dit direct 
$$
{\Phi} = - PV,
$$
d.w.z. ${\Phi}(V, T, {\mu}) = - P(V, T, {\mu}) \,V$.
Hiermee kunnen we 
de drie thermodynamische relaties zelf 
weer eenvoudiger schrijven, n.l. als
$$
\left( \frac{\partial P}{\partial V}
\right)_{T, {\mu}} = 0
$$
\mbox{}
$$
S = V \left(
\frac{\partial P}{\partial T} \right)_{V, {\mu}}
$$
\mbox{}
$$
M = V \left(
\frac{\partial P}{\partial {\mu}} \right)_{V,T}.
$$
De eerste relatie zegt dat $P$ 
{\em als functie van $V$, $T$ en $\mu$}\, 
niet van $V$ afhangt. 

\bigskip
\noindent
OPMERKING: In de statistische mechanica komt men 
vanuit het {\em groot-kanoniek ensemble}\, 
tot de thermodynamica in deze opzet, 
met de basisvariabelen $T$, $V$ en ${\mu}$, 
en met de {\lq grand potential\rq} 
${\Phi}={\Phi}(T,V, {\mu})$ als centrale functie.
In dat verband gebruikt men soms
 in plaats van de massa $M$ 
het deeltjesaantal $N$, 
hoewel dit strict genomen 
geen thermodynamische grootheid is. 
Men kan in alle formules $M$ 
door $N$ vervangen als men ${\mu}$ opvat 
als energietoename per deeltje, 
in plaats van energietoename per eenheid van massa.

\medskip
\bigskip
\noindent
8. SAMENVATTEND SCHEMA

\medskip
\bigskip
\noindent
8.1. EENVOUDIGE SITUATIE (MASSA CONSTANT)

\bigskip
\noindent
{\em Eerste hoofdwet}\,: \, \, $dU = dQ - PdV$

$\rightarrow$ \, \, bestaan van 
{\em inwendige energie}\, $U(T,V)$

\bigskip
\noindent
{\em Tweede hoofdwet}\, : \, \, $dQ = TdS$

$\rightarrow$ \, \, 
bestaan van {\em entropie}\, $S(U, V)$

\bigskip
\medskip
\noindent
$\bullet$ \, Variabelen $(U,V)$

\bigskip
bestaan van functie $S(U,V)$,
zodanig dat $dS = \frac{1}{T}dU + \frac{P}{T} dV$,

dus $S(U,V) \, \rightarrow $ 
afgeleide grootheden $T$ en $P$

\bigskip
dit beeld komt microscopisch 
van het {\em microkanoniek}\, ensemble

via logaritme van {\em toestandsintegraal}\, 
${\Omega}$

\bigskip
\medskip
\noindent
Introductie van nieuwe grootheid, 
de {\em vrije energie}\, $F = U - TS$, 

\noindent
eliminatie van $U$

\bigskip
\noindent
$\bullet$ \,  Variabelen $(U,V)$

\bigskip
bestaan van functie $F(V,T)$
zodanig dat $dF = -PdV - SdT$,

dus $F(V,T)\, \rightarrow$,
afgeleide grootheden $S$ en $P$

\bigskip
dit beeld komt microscopisch 
van het {\em kanoniek}\, ensemble, 

via logaritme van {\em partitiefunctie}\, $Z$

%\bigskip
%\medskip
\newpage
\noindent
8.2. ALGEMENERE SITUATIE (MASSA EEN VARIABELE)

\bigskip
\noindent
{\em Eerste hoofdwet}\,: \, \, 
$dU = dQ - PdV + {\mu}dM$

$\rightarrow$ \, \, bestaan van 
{\em inwendige energie}\, $U(T,V,M)$

\bigskip
\noindent
{\em Tweede hoofdwet}\, : \, \, $dQ = TdS$

$\rightarrow$ \, \, 
bestaan van {\em entropie}\, $S(U, V, M)$

\bigskip
\medskip
\noindent
$\bullet$ \, Variabelen $(U,V,M)$

\bigskip
bestaan van functie $S(U,V,M)$,
zodanig dat $dS = 
\frac{1}{T}dU + \frac{P}{T} dV - \frac{\mu}{T}dM$,

dus $S(U,V,M) \, \rightarrow $ 
afgeleide grootheden $T$, $P$ en ${\mu}$

\medskip
\bigskip
\noindent
Introductie van nieuwe grootheid, 
de {\em {\lq grand potential\rq}}\, 
$\Phi = U - TS - {\mu}M$, 

\noindent
eliminatie van $U$

\bigskip
\noindent
$\bullet$ \, Variabelen $(T,V, M)$

\bigskip
bestaan van functie ${\Phi}(T,V,M)$,
zodanig dat $d{\Phi} = - SdT - PdV - Md{\mu}$,

dus $F(V,T,M)\, \rightarrow$
afgeleide grootheden $S$, $P$ en ${\mu}$

\bigskip
extra relatie $\Phi = - PV$

\bigskip
dit beeld komt microscopisch 
van het {\em groot-kanoniek}\, ensemble, 

via logaritme van 
{\em groot-kanonieke partitie-functie}\, ${\Xi}$

\newpage
\noindent
{\LARGE{KANSREKENING}}

\medskip
\bigskip
\noindent
1. INLEIDING

\bigskip
\noindent
In deze notitie, 
die in de plaats komt van Appendix A 
van de syllabus, 
behalve wat betreft het stukje over 
de formule van Stirling, 
bespreek ik kort de belangrijkste begrippen 
van de kansrekening of waarschijnlijkheidstheorie, 
zoals we die gebruiken in de statistische fysica. 
Aan de orde komen discrete en 
continue kansgrootheden, 
hun gemiddelde of verwachting, momenten,
spreiding of standaardafwijking, 
stelsels van kansvariabelen, etc. 

\bigskip
\noindent
Stel een experiment, 
waarvan de uitkomst niet vast ligt, 
maar waarbij iedere mogelijke uitkomst 
een zekere kans heeft 
om gerealiseerd te worden.
Deze kansen vertellen ons 
wat we kunnen verwachten 
als we de meting een groot aantal keren 
onder de zelfde omstandigheden herhalen.
In een dergelijke situatie spreken we 
van een {\em kansgrootheid}\,, 
{\em kansvariabele}\,
of {\em stochastische grootheid}\,.
 Het meest voor de hand liggende voorbeeld 
is natuurlijk het gooien van een dobbelsteen.
De kansvariabele kan $6$ waarden aannemen, 
de getallen $1$ t.m. $6$.
Als de dobbelsteen geen afwijkingen heeft,
zal de kans voor ieder van die $6$ uitkomsten 
het zelfde zijn, n.l. $\frac{1}{6}$.


\bigskip
\medskip
\noindent
2. DISCRETE KANSGROOTHEDEN

\bigskip
\noindent
De mogelijke uitkomsten van het werpen 
van met een dobbelsteen horen bij 
een {\em discrete}\, kansvariabele.
Algemeen geldt dat 
een discrete kansgrootheid $X$ 
als mogelijke {\em uitkomsten}\, 
een aantal discrete waarden heeft,
zeg $x_1, \ldots, x_n$, 
met daarbij kansen ${\rho}_j$, 
voor $j = 1, \ldots , n$.
Voor deze getallen geldt natuurlijk
$$
{\rho}_j \geq 0,
$$
voor $j = 1, \ldots , n$, en
$$
\sum_{j =1}^n {\rho}_j = 1.
$$ 
Dit laatste is een {\em normering}\, 
die tot uitdrukking brengt dat de kans 
om \'{e}\'{e}n van de mogelijke waarden, 
welke dan ook, te vinden gelijk aan is $1$.
Het {\em gemiddelde}\, 
of de {\em verwachting}\,, 
aangegeven als ${\overline{X}}$ 
of $\langle X \rangle$, 
definieert men als
$$
{\overline{X}} = \sum_{j=1}^n x_j{\rho}_j.
$$
Meer algemeen hebben we, 
voor $k = 1,2, \ldots$\,, 
de $k$-de {\em momenten}\,
$$
{\overline{X^k}} = \langle X^k \rangle = 
\sum_{j=1}^n (x_j)^k{\rho}_j.
$$
Belangrijk zijn verder 
de afwijking van het gemiddelde, 
de {\em variantie}\,  
$$
\overline{(X - {\overline{X}})^2} =
\overline{X^2} - 
\left({\overline{X}} \right)^2 =
\sum_{j =1}^N \,
\left(
x_j - {\overline{X}}
\right)^2
{\rho}_j,
$$
en de wortel daaruit, 
de {\em standaardafwijking}\,
 of {\em spreiding}
$$
{\Delta}X =
\left(
\overline{(X - {\overline{X}})^2}
\right)^{1/2}
=
\Big(
\sum_{j =1}^N \,
\left(
x_j - {\overline{X}}
\right)^2
{\rho}_j
\Big)^{1/2}
$$
Twee bekende voorbeelden 
van discrete kansverdelingen: 
de {\lq symmetrische\rq} 
{\em binomiaal-verdeling}\, gegeven door
$$
{\rho}_n = \frac{2^{-N}N!}{n! (N-n)!}
$$
voor $n = 1, \ldots , N$, 
met gemiddelde $\frac{1}{2}n$ 
en variantie $\frac{1}{4}n$, 
en de {\em Poisson-verdeling}
$$
{\rho}_n = \frac{e^{-a} a^n}{n!}
$$ 
voor een positief getal $a$ en 
$n = 0, 1, \ldots $ \,, 
met gemiddelde {\em en}\, variantie $a$. 

\medskip
\bigskip
\noindent
3. CONTINUE KANSDICHTHEDEN

\bigskip
\noindent
Bezie een interval $[x_a, x_b]$, 
waarbij $x_a$ en $x_b$ gelijk aan $- \infty$, 
respectievelijk $+ \infty$ mag zijn, 
en stel dat een punt (of een puntdeeltje) zich ergens 
in het interval bevindt,
en wel overal met gelijke kans. 
Neem $x_1$ binnen het interval. 
Men zou kunnen vragen wat de kans ${\rho}_{x_1}$ is 
dat het punt op $x_1$ te word gevonden. 
Dit is geen goede vraag. 
De kansen voor alle punten $x$ in $[x_a, x_b]$ 
zijn gelijk; 
er zijn oneindig veel punten $x$ in het interval, 
hetgeen betekent dat de totale kans
 voor het gehele interval $0$ is, 
als ${\rho}_x = 0$, of ${\infty}$, 
als ${\rho}_x \neq 0$. 
Beide uitkomsten zijn onzin; 
een dergelijke totale kans moet $1$ zijn.
Men gebruikt daarom in dit geval 
een {\em kansdichtheid}\., 
een functie ${\rho}(x)$ met de eigenschappen 
$$
{\rho}(x) \geq 0,
$$
voor alle $x$ in $[x_a, x_b]$, en met
$$
\int_{x_a}^{x_b} {\rho}(x) dx = 1,
$$
de normering van de kansdichtheid.
De betekenis van zo'n kansdichtheid is 
dat ${\rho}(x)dx$ de kans aangeeft 
dat we het deeltje 
in het (infinitesimale) interval 
$[x_1 , x_1 + dx]$ vinden, 
of wiskundig wat preciezer 
dat $\int_{x_1}^{x_2} {\rho}(x) dx$ 
de kans is om het in het eindige deelinterval 
$[x_1, x_2]$ van $[x_a, x_b]$ aantreffen.
Het gemiddelde is
$$
{\overline{X}} = \int_{x_a}^{x_b} x{\rho}(x)dx,
$$
het $k$-de moment
$$
{\overline{X^k}} = \int_{x_a}^{x_b} x^k{\rho}(x)dx.
$$
Verder hebben we ook weer de {\em variantie}
$$ 
\overline{(X - {\overline{X}})^2}
= \int_{x_a}^{x_b} \,
\left(
x - {\overline{X}}
\right)^2 
{\rho}(x)dx
$$ 
en de {\em standaardafwijking} 
$$
{\Delta}X = 
\left(
\overline{(X - {\overline{X}})^2}
\right)^{1/2}
= 
\left(\int_{x_a}^{x_b} \,
\left(
x - {\overline{X}}
\right)^2 
{\rho}(x)dx
\right)^{1/2}.
$$
Het voorafgaande maakt voldoende duidelijk 
wat men in het algemeen bedoelt 
met een {\em continue}\, kansgrootheid. 

\bigskip
\noindent
Een bekende continue kansverdeling 
op het interval $[- \infty , + \infty ]$ is
$$
{\rho}(x) = 
\frac{1}{\sqrt{2 \pi} {\sigma}} \, 
e^{- \frac{(x-a)^2}{2{\sigma}^2}}
$$
de kansdichtheid van een {\em normale}\, of 
{\em Gaussische kansverdeling}\,, 
met gemiddelde $a$ en standaardafwijking ${\sigma}$. 

\medskip
\bigskip
\noindent
4. STELSELS VAN KANSGROOTHEDEN

\bigskip
\noindent
In dit en het volgende hoofdstuk zal ik me beperken 
tot continue kansgrootheden. 
De aanpassingen nodig voor analoge discussies 
in het geval van discrete kansen
zijn tamelijk voor de hand liggend.

\bigskip
\noindent
Een {\em stelsel}\, van $n$ kansgrootheden 
is in het algemeen {\em meer}\, dan een collectie 
{\em losse}\, kansgrootheden $(X_1, \ldots , X_n)$, 
d.w.z. meer dan een $n$-tal 
afzonderlijke kansdichtheden 
${\rho}(x_1), \ldots , {\rho}(x_n)$ 
die kansverdelingen voor ieder van de 
variabelen $x_1, \ldots , x_n$ bepalen. 
Bij een {\em stelsel}\, 
van $n$ kansgrootheden hoort 
een {\em gemeenschappelijke}\, 
of {\em gelijktijdige}\, kansverdeling, 
die wordt gegeven door een $n$-dimensionale 
kansdichtheidsfunctie
${\rho}(x_1, \ldots , x_n)$, 
een functie die voor alle waarden van 
$x_1, \ldots , x_n$ positief of nul is, 
en genormeerd is, d.w.z. met
$$
\int \ldots \int {\rho}(x_1, 
\ldots , x_n)dx_1 \ldots dx_n.
$$
(We nemen hier voor de eenvoud aan dat alle variabelen 
van $-{\infty}$ tot $+{\infty}$ lopen, 
maar beperking tot eindige intervallen kan ook.)
Men interpreteert 
${\rho}(x_1, \ldots , x_n)dx_1 \ldots , dx_n$ 
als de kans om het punt met 
de co\"{o}rdinaten $x_1, \ldots , x_n$  
in het {\lq infinitesimale\rq} integratievolume 
$dx_1 \ldots dx_n$,
d.w.z. in het $n$-dimensionale 
{\lq infinitesimale\rq} blok 
$[x_1, x_1 + dx_1] \times 
\ldots \times [x_n, x_n + dx_n]$, 
dus de kans om 
{\em en}\, $x_1$ in het (infinitesimale) 
interval $[x_1, x_1 + dx_1]$, {\em en tegelijkertijd}\, 
$x_2$ in $[x_2, x_2 + dx_2]$ aan te treffen, 
{\em en tegelijkertijd}\,, 
enz. De kans om het punt aan te treffen in een eindig 
$n$-dimensionaal volume $V$, 
een wiskundig wat precieser begrip, 
is natuurlijk gelijk aan de integraal 
$\int_V {\rho}(x_1, \ldots , x_n) dx_1 \ldots , dx_n$.
De gemiddelden van de afzonderlijke 
kansgrootheden $X_j$ 
zijn op voor de hand liggende manier gedefini\"{e}erd als
$$
\overline{X_j} =
\int \ldots \int x_j {\rho}(x_1, 
\ldots , x_n) dx_1 \ldots dx_n,
$$
dus door integratie over 
alle $n$ variabelen $x_1 , \ldots , x_n$.
De varianties en standaardafwijkingen 
van de $X_j$ worden 
op soortgelijke manier gedefini\"{e}erd.  
Merk op dat de boven gegeven formule 
voor het gemiddelde $X_j$, 
bijvoorbeeld voor $X_1$,
ook geschreven kan worden als 
$$
{\overline{X_1}} =
{\int} x_1 {\rho}_1(x_1)dx_1,
$$
met
$$
{\rho}_1(x_1) = 
\int \ldots \int 
{\rho}(x_1, \ldots , x_n) dx_2 \ldots dx_n.
$$
Het is duidelijk dat uit de eigenschappen 
van ${\rho}(x_1, \ldots , x_n)$ volgt 
dat ${\rho}_1(x_1)$ 
een $1$-dimensionale kansdichtheid is, 
de {\em kansdichtheid van $X_1$ 
als afzonderlijke kansgrootheid}\,.
Op deze wijze krijgen we 
uit de gemeenschappelijke kansdichtheids-functie 
van een {\em stelsel}\, kansgrootheden 
$X_1, \ldots , X_n$ 
door integratie over $n-1$ variabelen 
de kansdichtheden van de $X_j$ als afzonderlijke, 
op zich zelf staande kansgrootheden.

\bigskip
\noindent
Door een kansdichtheid 
${\rho}$ in $n$ variabelen $x_1, \ldots , x_n$ 
meer algemeen te integreren 
over een deel van de variabelen, 
zeg $x_1, \ldots , x_p$, met $p < n$, 
krijgt men een gemeenschappelijke kansdichtheid 
voor de overblijvende variabelen $x_{p+1}, \ldots , x_n$, 
zoals men eenvoudig kan nagaan. 
Men noemt de de nieuwe kansdichtheid
$$
{\hat{\rho}}(x_{p+1}, \ldots , x_n) =
\int \ldots \int 
{\rho}(x_1, \ldots , x_n)dx_1 \ldots dx_p 
$$
soms een {\em gereduceerde}\, kansdichtheid.

\bigskip
\noindent
Zoals hier boven besproken 
geeft een {\em stelsel}\, van $n$ kansgrootheden 
door de integraties over $n-1$ variablen 
$n$ {\lq losse\rq} kansgrootheden.
Omgekeerd kan men uit 
$n$ losse kansgrootheden, 
d.w.z. afzonderlijke kansdichtheden 
${\rho}_1(x_1), \ldots , {\rho}_n(x_n)$,
een stelsel maken door 
een gemeenschappelijke kansdichtheid 
te defini\"eren 
volgens
$$
{\rho}(x_1, \ldots , x_n) = 
{\rho}_1(x_1) \ldots {\rho}_n(x_n)
$$
Deze enigszins triviale constructie 
leidt tot wat we in het volgende hoofdstuk 
een {\em onafhankelijk}\,  
stelsel kansgrootheden 
zullen noemen.

\newpage
\noindent
5. AFHANKELIJKHEID EN CORRELATIE 
VAN KANSGROOTHEDEN

\bigskip
\noindent
Bezie een stelsel van 
$n$ kansgrootheden $X_1, \ldots , X_n$, 
met gemeenschappelijke kansdichtheid 
${\rho}(x_1, \dots , x_n)$.
Voor iedere $X_j$ hebben we een 
door integratie over $n-1$ variabelen verkregen 
afzonderlijke {\lq gereduceerde\rq} kansdichtheid
$$
{\rho}_j (x_j) = 
{\int} \ldots {\int}
{\rho}(x_1, \dots , x_n)
dx_1 \ldots dx_{j-1}dx_{j+1} \ldots dx_n.
$$
We zullen het stelsel 
kansgrootheden {\em onafhankelijk}\, noemen
als de gemeenschappelijke kansdichtheid het product 
is van de afzonderlijke kansdichtheden is, dus als
$$
{\rho}(x_1, \dots , x_n) = 
{\rho}_1(x_1) \ldots {\rho}_n(x_n).
$$

\bigskip
\noindent
De uitdrukking
$$
{\overline{ \left(
X_j - {\overline{X_j}} \right)
\left( X_k - {\overline{X_k}} \right)}} =
$$
\mbox{}
$$
= {\int} \ldots {\int} 
\left( x_j - {\overline{X_j}} \right)
\left( x_k - {\overline{X_k}} \right)
{\rho}(x_1, \ldots , x_n) 
dx_1 \ldots dx_n
$$
wordt {\em covariantie}\, 
van $X_j$ en $X_k$ genoemd; 
deling door het product van de standaardafwijkingen 
${\Delta}X_j {\Delta}X_k$ geeft
de {\em correlatieco\"{e}ffici\"{e}nt}\, 
van $X_j$ en $X_k$. 
Merk op dat geldt
$$
{\overline{ \left( X_j - 
{\overline{X_j}} \right)
\left( X_k- {\overline{X_k}}
\right)}} = 
{\overline{X_jX_k}} - 
{\overline{X_j}}\, {\overline{X_k}}.
$$
De correlatieco\"{e}ffici\"{e}nt 
ligt altijd tussen $-1$ en $+1$.
Voor {\em gecentreerde}\, 
kans-grootheden $X_j$ en $X_k$, 
d.w.z. met $\overline{X_j} =0$ en $\overline{X_k} = 0$, 
is de covariantie eenvoudig $\overline{X_jX_k}$. 

\bigskip
\noindent
Als de kansgrootheden $X_1$ en $X_2$ een 
onafhankelijk stelsel vormen
dan is de correlatieco\"{e}ffici\"{e}nt 
van $X_1$ en $X_2$ gelijk aan nul.
Het omgekeerde geldt niet.

\newpage
\noindent
{\LARGE{KLASSIEKE MECHANICA}}

\bigskip
\bigskip
\noindent
1. INLEIDING

\bigskip
\noindent
In deze notitie, 
die in de plaats komt van Appendix C van de syllabus, 
behalve wat betreft het stukje 
over over bolco\"{o}rdinaten,
bespreek ik kort de belangrijkste 
voor het college benodigde begrippen 
van de klassieke mechanica.
Als typisch systeem behandel ik de mechanica van  
een systeem van $N$ puntdeeltjes, 
die zich bewegen onder invloed van een potentiaal.

\bigskip
\noindent
Ik ga uit van de algemene bewegingsvergelijkingen 
van Newton, 
herschrijf deze via de invoering 
van het Lagrange-formalisme 
tot de vergelijkingen van Euler-Lagrange, 
en kom tenslotte uit bij het Hamilton-formalisme, 
een vorm van de klassieke mechanica, 
die bijzonder geeigend is zowel voor het gebruik 
in de statistische mechanica 
zoals die in het college wordt behandeld, 
als voor de overgang van de klassieke mechanica 
naar de quantummechanica.
 
\medskip
\bigskip
\noindent
2. DE VERGELIJKINGEN VAN NEWTON

\bigskip
\noindent
Beschouw een systeem van $N$ puntdeeltjes 
met massa's $m_j$. Ik geef de plaatscoordinaten aan als 
$$
{\vec{r}}_1, \ldots ,{\vec{r}}_N  =
(x_1, y_1, z_1), \ldots , (x_N, y_N, z_N),
$$
en de daarbij horende snelheden als
$$
{\vec{v}}_1, \ldots , {\vec{v}}_N =
(v_{x_1}, v_{y_1}, v_{z_1}), 
\ldots , (v_{x_N}, v_{y_N}, v_{z_N}).
$$
Verder is 
$$
r_j = \left( (x_j)^2 + (y_j)^2 + 
(z_j)^2 \right)^{1/2}
$$
en
$$
r_{jk} = r_{kj} = \left(
(x_j - x_k)^2 + (y_j - y_k)^2 + (z_j - z_k)^2 
\right)^{1/2}.
$$
We hebben natuurlijk ook
$$
v_j = \left( (v_{x_j})^2 + (v_{y_j})^2 
+ (v_{z_j})^2 \right)^{1/2}.
$$
We veronderstellen dat de deeltjes bewegen in 
een potentiaal $V({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N)$.
Zo'n potentiaal kan een som zijn 
van verschillende termen. 
We kunnnen denken aan een $1$-deeltjes potentiaal
$$
V_1({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N) = 
\sum_j V_1({\vec{r}}_j),
$$
bijvoorbeeld een wandpotentiaal 
die er voor zorgt dat de deeltjes 
in een eindig volume opgesloten blijven, 
of een potentiaal afkomstig van een uitwendig veld.
De deeltjes kunnen paar-wisselwerking hebben 
door een term
$$
V_2({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N) = 
\sum_{j<k} V_2(r_{jk}),
$$
waarbij de sommering over $j<k$ 
er voor zorgt dat er geen dubbeltelling optreedt 
en dat er geen zelfinteracties zijn.
Verder kan er $3$-deeltjes wisselwerking zijn met
$$
V_3({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N) = 
\sum_{j<k<l}V_3({\vec{r}}_j, 
{\vec{r}}_k, {\vec{r}}_l),
$$
etc.
(Voor de eenvoud laat ik hier krachten 
die van de snelheid van een deeltje afhangen, 
bijvoorbeeld de kracht uitgeoefend 
op een bewegend deeltje in een magnetisch veld, 
buiten beschouwing.)
De tijdsevolutie wordt beschreven door 
de algemene bewegingsvergelijking 
van Newton $F = ma$, 
d.w.z. door de differentiaalvergelijking
$$
m_j \frac{d^2}{dt^2} {\vec{r}}_j(t) =
- {\vec{\nabla}}_j V({\vec{r}}_1(t), \ldots , 
{\vec{r}}_N(t)),
$$
met 
$$
{\vec{\nabla}}_j = 
\left( \frac{\partial }{\partial x_j}, 
\frac{\partial }{\partial y_j}, 
\frac{\partial }{\partial z_j} \right),
$$
voor $j = 1, \ldots , N$.

\medskip
\bigskip
\noindent
3. OVERGANG NAAR DE FORMULERING 
VAN LAGRANGE

\bigskip
\noindent
Definieer de {\em Lagrange-functie}\,
of {\em Lagrangiaan}\, 
als kinetische energie minus potentiele energie, 
d.w.z. als de volgende functie 
van plaatscoordinaten en snelheden
$$
L({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N, 
{\vec{v}}_1, \dots , {\vec{v}}_N) =
\sum_j \, \frac{1}{2} m_j v_j^2 -
V({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N).
$$
Men kan nagaan dat de bewegingsvergelijkingen 
van Newton equivalent zijn 
aan
$$
\frac{\vec{\partial}}{\partial {\vec{r}}_j}L =
\frac{d}{dt} \left(
\frac{\vec{\partial}}{\partial {\vec{v}}_j} 
L \right),
$$
met daarbij 
$\frac{\vec{\partial}}{\partial {\vec{r}}_j}$
het drietal
$$
\left( \frac{\partial }{\partial x_j}, 
\frac{\partial }{\partial y_j}, 
\frac{\partial }{\partial z_j} 
\right),
$$
en 
$\frac{\vec{\partial}}{\partial {\vec{v}}_j}$
het drietal
$$
\left( 
\frac{\partial }{\partial v_{x_j}}, 
\frac{\partial }{\partial v_{y_j}}, 
\frac{\partial }{\partial v_{z_j}} 
\right),
$$
voor $j = 1,2, \ldots , N$. 
Dit zijn de {\em Euler-Lagrange}\, vergelijkingen.

\bigskip
\noindent
In het Lagrange-formalisme hoeft men 
zich niet te beperken
tot rechthoekige coordinaten ${\vec{r}}_j$; 
het gehele formalisme, 
inclusief de Euler-Lagrange vergelijkingen, 
blijft geldig voor willekeurige 
kromlijnige coordinaten.
We hebben dan een beschrijving gebaseerd op
een Lagrange-functie $L$ die een functie is 
van {\lq gegeneraliseerde\rq} coordinaten 
$(q_1, \dots , q_{3N})$
en hun tijdsafgeleiden 
die we aangeven als 
$({\dot q}_1, \dots , {\dot q}_{3N})$.
De functie $L$ bepaalt 
de Euler-Lagrange vergelijkingen 
$$
\frac{\partial L}{\partial q_k} = \frac{d}{dt}
\left( \frac{\partial L}{\partial {\dot q}_k} \right),
$$ voor $k =1,2, \ldots , 3N$, 
die de tijdsevolutie 
van het systeem beschrijven.
Het Lagrange-formalisme 
van de klassieke mechanica 
heeft zelf verschillende belangrijke toepassingen; 
wij gebruiken het hier alleen als een  
noodzakelijke tussenstap op weg
naar het Hamilton-formalisme.

\medskip
\bigskip
\noindent
4. HET HAMILTON-FORMALISME

\bigskip
\noindent
Ga uit van het Lagrange-formalisme, 
geschreven  
in termen van algemene coordinaten 
$q_1, \dots , q_{3N}$, 
met tijdsafgeleiden 
${\dot q}_1, \dots , {\dot q}_{3N}$.
We definieren {\em geconjugeerde}\, 
of {\em kanonieke}\, impulsen als
$$
p_j = \frac{\partial L}{\partial {\dot q}_j}
$$
voor $j =1, \ldots , 3N$ en voeren 
vervolgens een nieuwe functie in,  
de {\em Hamilton-functie}\, 
of {\em Hamiltoniaan}\, als
$$
H = \sum_k \, p_k{\dot q}_k - L.
$$
We kunnen in principe, 
door gebruik te maken van de formules 
die de geconjugeerde impulsen definieren, 
de variabelen 
${\dot q}_1 , \ldots , {\dot q}_{3N}$ 
uit te drukken in de $p_1, \ldots, p_{3N}$ 
en de $p_1, \ldots , p_{3N}$. 
Dat betekent dat men inplaats van de paren 
$(q_k, {\dot q}_k)$ de paren $(q_k, p_k)$ 
als basisvariabelen gaat gebruiken. 
In het bijzonder schrijft men de Hamiltoniaan $H$ 
als een functie 
$H(q_1, \ldots , q_{3N}, p_1, \ldots , p_{3N})$.
Men kan laten zien dat 
de Euler-Lagrange vergelijkingen, 
zelf equivalent aan de vergelijkingen van Newton, 
beide differentiaalvergelijkingen van tweede orde,
op hun beurt equivalent zijn aan paren 
eerste-orde vergelijkingen,
de {\em Hamilton}\, vergelijkingen
$$
\frac{dq_k}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_k}
$$
voor $q_k(t)$, en
$$
\frac{dp_k}{dt} = - \frac{\partial H}{\partial q_k}, 
$$
voor $p_k(t)$, voor $k = 1, \ldots , 3N$.

\bigskip
\noindent
Voor het geval van rechtlijnige coordinaten 
${\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_{3N}$ 
vinden we voor de kanonieke impulsen
$$
{\vec{p}}_j = 
\frac{\vec{\partial}}{\partial  {\dot {\vec{r}}}_j} L
= m_j{\dot {\vec{r}}}_j = m_j{\vec{v}}_j,
$$
dus de gebruikelijke impuls. 
Voor de Hamiltoniaan, 
uitgedrukt in de ${\vec{r}}_j$ en ${\vec{p}}_j$ 
vinden we
$$
H({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N, 
{\vec{p}}_1, \ldots , {\vec{p}}_N) = 
\sum_j \, \frac{p_j^2}{2m_j} +
V({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N),
$$
de totale energie van het systeem, 
en voor de Hamilton-vergelijkingen
$$
\frac{d}{dt} {\vec{r}}_j(t) =
\frac{{\vec{p}}_j(t)}{m_j}
$$
\mbox{}
$$
\frac{d}{dt} {\vec{p}}_j(t) = 
- {\vec{\nabla}}_j V({\vec{r}}_1(t), 
\ldots , {\vec{r}}_N(t)),
$$
hetgeen we onmiddelijk kunnen combineren 
tot de tweede-orde vergelijkingen
$$
m_j \frac{d^2}{dt^2} {\vec{r}}_j(t) = 
-{\vec{\nabla}}_j V({\vec{r}}_1(t), 
\ldots , {\vec{r}}_N(t)),
$$
de gebruikelijke vergelijkingen van Newton.

\medskip
\bigskip
\noindent
5. DE POISSON-HAAK

\bigskip
\noindent
Stel twee functies 
$f(q_1, \dots , q_{3N}, p_1, 
\ldots , p_{3N})$ 
en $g(q_1, \dots , q_{3N}, p_1, 
\ldots , p_{3N})$.
Men definieert een nieuwe functie,
de {\em Poisson-haak}\, van $f$ en $g$, als
$$
\{ f, g \} = \sum_k \, \left(
\frac{\partial f}{\partial p_k} 
\frac{\partial g}{\partial q_k} 
- \frac{\partial g}{\partial p_k} 
\frac{\partial f}{\partial q_k}
\right).
$$
Er geldt
\begin{eqnarray*}
& & \{p_k, p_l\} = 0\\
& & \{q_k, q_l \} = 0\\
& & \{ p_k , q_l \} = {\delta}_{kl}.
\end{eqnarray*}
Met $\{ \cdot , \cdot \}$ 
kan men allerlei formules 
en relaties compact schrijven. 
Zo krijgen bijvoorbeeld 
de Hamilton-vergelijkingen 
de vorm
$$
\frac{dq_k}{dt} = \{ H, q_k\}
$$
\mbox{}
$$
\frac{dp_k}{dt} = \{ H, p_k\}.
$$
voor $k = 1,2, \ldots , 3N$.
Bij de overgang van de klassieke mechanica, 
waarbij klassieke observabele grootheden, 
d.w.z. functies $f$ van coordinaten 
en (geconjugeerde) impulsen, 
worden vervangen 
door hermitische operatoren 
${\hat{f}}$ en $\hat{g}$ 
in de Hilbert-ruimte van quantumtoestanden, 
gaat een Poisson-haak $\{ f,g\}$ 
van twee zulke klassieke grootheden vaak over 
in de operatorcommutator 
$$
\{ f, g \} \, \, \rightarrow \, \, 
\frac{i}{\hbar} \Big[ \hat{f} , \hat{g} \Big] = 
\frac{i}{\hbar} \Big( {\hat{f}}{\hat{g}} - 
{\hat{g}}{\hat{f}} \Big).
$$

\medskip
\bigskip
\noindent
6. OSCILLATORSYSTEMEN

\bigskip
\noindent
Veel fysische systemen kunnen 
in een goede eerste benadering beschouwd worden 
als stelsels oscillatoren, 
die -- na een diagonalisatie procedure --
zelfs onafhankelijk blijken te zijn. 
Dit wordt gebruikt in Hoofdstuk 5 
(Kristallen) van de syllabus van Denteneer. 
Hier volgt een korte bespreking 
van de betreffende diagonalisatieprocedure.

\medskip
\noindent
Bezie een klassiek mechanisch systeem 
met co\"{o}rdinaten $q_1, \ldots , q_n$ 
en bijbehorende snelheden 
${\dot{q}}_1, \ldots , {\dot{q}}_n$, 
met Lagrangiaan
$$
L = \sum_{j=1}^n 
\frac{1}{2} m {\dot{q}}^2_j - 
\frac{1}{2} \sum_{j=1}^n A_{jk}q_jq_k,
$$
met $\{ A_{jk} \}$ een symmetrische matrix 
die positief-definiet is, 
d.w.z. alleen positieve eigenwaarden bezit.

\bigskip
\noindent
Een bekende stelling 
uit de {\em lineaire algebra}\,: 
een symmetrische matrix 
kan door een orthogonale transformatie 
gediagonaliseerd worden, 
d.w.z. bij een (re\"{e}le symmetrische 
$n \times n$ matrix $\{ A_{jk} \}$ 
bestaat een orthogonale matrix $\{ O_{jk} \}$ 
zodanig dat geldt
$$
\sum_{j,k = 1}^n O_{sj}O_{tk} A_{jk} =
{\alpha}_s {\delta}_{st}.
$$
(Een matrix $\{ O_{jk} \}$ 
heet orthogonaal als 
$\sum_{s=1}^n O_{js}O_{ks} = {\delta}_{jk}$, 
of equivalent, 
als de inverse van de matrix $\{ O_{jk} \}$ 
gelijk is aan de gespiegelde.)

\medskip
\noindent
De getallen ${\alpha}_j$ zijn de eigenwaarden 
van de matrix $\{ A_{jk} \}$; 
het vinden van de ${\alpha}_j$ 
komt neer op het oplossen van het 
eigenwaarde / eigenvector probleem 
van de matrix $\{ A_{jk} \}$.

\bigskip
\noindent
Dit passen we toe op het 
gegeven mechanisch systeem. 
We gaan over op nieuwe co\"{o}rdinaten
$$
q^{\prime}_j = \sum_{s=1}^n O_{js}q_s,
$$
en dus ook
$$
{\dot{q}}^{\prime}_j = 
\sum_{s=1}^n O_{js} {\dot{q}}_s,
$$
met $\{ O_{js} \}$ de orthogonale matrix
die $\{ A_{jk} \}$ diagonaliseert.
We krijgen
\begin{eqnarray*}
& & \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n m {\dot{q}}_j =
\frac{1}{2} \sum_{s,t =1}^n 
m \Big[ \Big(
\sum_{s=1}^n (O^{-1})_{js} 
{\dot{q}}_s^{\prime}
\Big) \Big(\sum_{t=1}^n 
(O^{-1})_{jt} {\dot{q}}_t \Big) \Big] =\\
& & = \frac{1}{2} \sum_{s,t =1}^n m
\Big( \sum_{j=1}^n O_{sj}O_{tj} \Big) 
{\dot{q}}_s^{\prime} {\dot{q}}_t^{\prime} =
\frac{1}{2} \sum_{s,t =1}^n m
\, {\delta}_{st}\, 
{\dot{q}}_s^{\prime} {\dot{q}}_t^{\prime} =
\frac{1}{2} \sum_{s=1}^n m 
{\dot{q}}_s^{{\prime}2}
\end{eqnarray*}
 en
\begin{eqnarray*}
& & \frac{1}{2} \sum_{j,k = 1}^n  
A_{jk} q_j q_k =
\, \ldots \, =
\frac{1}{2} \sum_{s,t =1}^n 
\Big( \sum_{j,k =1}^n O_{sj}O_{tk} A_{jk} \Big) 
q_s^{\prime} q_t^{\prime} =\\
& & = \frac{1}{2} \sum_{s,t =1}^n 
{\alpha}_s \, {\delta}_{st} 
q_s^{\prime} q_t{\prime} =
\frac{1}{2} \sum_{s =1}^n 
{\alpha}_s q_s^{{\prime}2}.
\end{eqnarray*}
In termen van de $q_j^{\prime}$, 
${\dot{q}}_j^{\prime}$ wordt de Lagrangiaan 
$$
L = \frac{1}{2} \sum_{s=1}^n 
m {\dot{q}}_s^{{\prime}2} - 
\frac{1}{2} \sum_{s =1}^n {\alpha}_s
q_s^{{\prime}2}.
$$
Binnen het Hamilton formalisme betekent dit 
een overgang van
$$
H  = \sum_{j=1}^n 
\frac{1}{2} m {\dot{q}}_j^{{\prime}2} +
\sum_{j,k =1}^n \frac{1}{2} A_{jk}q_jq_k
$$
naar een nieuwe {\lq gediagonaliseerde\rq} 
Hamiltoniaan
$$
H = \sum_{s=1}^n \Big(
\frac{1}{2} m {\dot{q}}_s^{{\prime}2} +
\frac{1}{2} {\alpha}_s q_s^{{\prime}2},
$$
de Hamiltoniaan van een stelsel 
van $n$ {\em onafhankelijke}\, 
harmonische oscillatoren met 
frequencies 
${\omega}_s = ({\alpha}_s)^{1/2}$.
(Merk op dat het hier van belang is 
dat we hebben verondersteld 
dat de eigenwaarden ${\alpha}_s$ positief zijn.)

\medskip
\noindent
Dus: door over te gaan op z.g. {\em normale}\, 
co\"{o}rdinaten 
$q_1^{\prime}, \ldots , q_n^{\prime}$ 
hebben we laten zien dat het oorspronkelijk 
wisselwerkende sysyteem 
de wiskundige structuur heeft 
van een stelsel van $n$ 
onafhankelijke oscillatoren 
met  verschillende frequenties.

\medskip
\noindent
 {\em Opmerking}\,: We zijn uitgegaan 
van \'{e}\'{e}n massa $m$. 
Dit is niet essenti\"{e}el; 
door zonodig eerst een schaaltransformatie 
$q_j \rightarrow (m_j)^{1/2}q_j$ 
uit te voeren kunnen we \'{e}\'{e}n zelfde 
waarde $m =1$ voor de massa's krijgen.

\newpage
\noindent
{\LARGE{HET FORMALISME}}

\bigskip
\noindent
{\LARGE{VAN DE QUANTUMMECHANICA}}

\medskip
\bigskip
\noindent
In deze notitie vat ik kort de belangrijkste elementen
van de quantummechanica samen, 
als achtergrond voor de behandeling 
van de quantum statistische mechanica in het college.

\bigskip
\bigskip
\noindent
1. TOESTANDEN

\medskip
\bigskip
\noindent
$\bullet$ \, {\em Een toestand 
in de quantummechanica wordt beschreven 
door een toestandsfunctie of golffunctie}\,.

\bigskip
\noindent
Voorbeelden:

\bigskip
\noindent
- Voor een $1$-dimensionaal systeem zoals 
bijvoorbeeld de $1$-dimensionale 
harmonische oscillator:

een complexe functie ${\psi}(x)$, 
genormeerd volgens 
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} |{\psi}(x)|^2dx = 1.
$$
- Voor een $3$-dimensionaal deeltje:

een complexe functie ${\psi}(x,y,z)$, 
genormeerd volgens 
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
\int_{-\infty}^{+\infty}
\, \, |{\psi}(x,y,z)|^2dxdydz = 1.
$$
- Voor een systeem van $N$ $3$-dimensionale deeltjes:

een complexe functie 
${\psi}(x_1, y_1, z_1, \ldots , x_N, y_N, z_N)$,
genormeerd volgens
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} 
\ldots \int_{-\infty}^{+\infty} \,
|{\psi}(x_1, y_1, z_1, \ldots , x_N, y_N, z_N)|^2 
dx_1dy_1dz_1 \ldots dx_Ndy_Ndz_N.
$$

\bigskip
\noindent
Voor {\em bosonen}\, 
is zo'n golffunctie {\em symmetrisch}\,,
voor {\em fermionen}\, antisymmetrisch 
onder permutaties van de variabelen van de $N$ deeltjes.

\bigskip
\noindent
De toestandsfuncties van een fysisch systeem, 
zonder normering,
vormen een oneindig dimensionale 
complexe {\em vectorruimte}\,.
Het is handig om in die ruimte 
voor ieder tweetal functies 
een {\em inwendig product}\, te defini\"{e}ren,
bijvoorbeeld voor een $3$-dimensionaal deeltje,
$$
({\psi}_1, {\psi}_2) =
\int_{-\infty}^{+\infty} 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
\int_{-\infty}^{+\infty}
{\psi}_1(x,y,z)^*{\psi}_2(x,y,z)dxdydz,
$$
met ${\psi}_1(x,y,z)^*$ de complex geconjugeerde van 
${\psi}_1(x,y,z)$. 
Een complexe vectorruimte van toestandsfuncties 
voorzien van zo'n inwendig product noemt men 
in de wiskunde een {\em Hilbert-ruimte}\,.

\bigskip
\bigskip
\noindent
2. OBSERVABELE GROOTHEDEN

\medskip
\bigskip
\noindent
$\bullet$ \, {\em Een observabele grootheid
in de quantummechanica wordt weergegeven 
door een hermitische operator 
in de vectorruimte van toestandsfuncties}\,.

\bigskip
\noindent
Voorbeelden:

\bigskip
\noindent
- Voor een $1$-dimensionaal systeem heeft men 
bijvoorbeeld 
de {\em plaatsoperator}\, ${\hat{x}}$, 
gedefini\"{e}erd als
$$
({\hat{x}}{\psi})(x) = x{\psi}(x),
$$
en de {\em impulsoperator}\, ${\hat{p}}$, 
gedefini\"{e}erd als
$$
({\hat{p}}{\psi})(x) = \frac{\hbar}{i} 
\frac{d{\psi}(x)}{dx}.
$$
Voor een vrij $1$-dimensionaal deeltje heeft men 
de {\em energieoperator} 
$$
{\widehat{H}} = \frac{{\hat{p}}^2}{2m},
$$ 
voor een $1$-dimensionale harmonische oscillator 
met frequentie ${\omega}$
$$
{\widehat{H}} =
\frac{{\hat{p}}^2}{2m} + 
\frac{1}{2}m{\omega}^2{\hat{x}}^2. 
$$ 
- Voor een $3$-dimensionaal deeltje 
heeft men drie plaats operatoren,
${\hat{x}}$, ${\hat{y}}$ en ${\hat{z}}$,
vermenigvuldiging met $x$, $y$ en $z$,
drie impulsoperatoren 
${\hat{p}}_x = \frac{\hbar}{i} 
\frac{\partial}{\partial x}$,
 ${\hat{p}}_y = \frac{\hbar}{i} 
\frac{\partial}{\partial y}$ en
${\hat{p}}_z = \frac{\hbar}{i} 
\frac{\partial}{\partial z}$, etc., etc.

\bigskip
\noindent
Een operator ${\hat{A}}$ heet 
{\em hermitisch}\, als geldt
$$
({\hat{A}}{\psi}_1, {\psi}_2) = 
({\psi}_1, {\hat{A}}{\psi}_2),
$$
voor elk paar toestandsfuncties 
${\psi}_1$ en ${\psi}_2$.

\bigskip
\noindent
Belangrijke eigenschappen:
een hermitische operator heeft  een {\em basis}\,, 
d.w.z. een {\em volledig stelsel}\,, 
van onderling orthogonale {\em eigenvectoren}\,; 
de eigenwaarden zijn {\em re\"{e}el}\,.
De collectie eigenwaarden van 
een hermitische operator noemt men 
het {\em spectrum}\, van de operator. 
Dit spectrum kan {\em discreet}\, of {\em continu}\, zijn. 
Een $n$-tal onderling {\em commuterende}\, 
hermitische operatoren heeft een 
{\em gemeenschappelijke}\, 
orthonormaalbasis van eigenvectoren.

\bigskip
\bigskip
\noindent
3. FYSISCHE INTERPETATIE VAN 1 EN 2

\medskip
\bigskip
\noindent
$\bullet$ \, {\em De mogelijke waarden 
die men bij meting van een fysische grootheid 
kan vinden zijn eigenwaarden van de 
met die grootheid corresponderende hermitische operator}

\bigskip
\noindent
$\bullet$ \, {\em De quantummechanica voorspelt 
de kansen om bepaalde waarden te vinden. 
Deze kansen, evenals het gemiddelde, 
de standaardafwijking, etc., 
worden bepaald door de toestandsfunctie 
van het systeem.}

\bigskip
\noindent
Zie voor een kort overzicht 
van de kanstheorie mijn notitie "Kansrekening" .

\bigskip
\medskip
\noindent
Uitwerking en voorbeelden:

\bigskip
\noindent
a. De energie van een klassieke 
$1$-dimensionale harmonische oscillator 
kan willekeurige positieve waarden hebben. 
In de quantummechanica heeft de 
bij de energie horende operator 
alleen de discrete positieve waarden 
$E_n =(n +1/2){\hbar}{\omega}$, 
voor $n = 0, 1, \ldots $\,, 
met $\hbar$ de constante van Planck 
en ${\omega}$ de frequentie van de oscillator.  
De energieoperator van het waterstofatoom heeft 
zowel discrete energiewaarden, 
voor de {\em gebonden}\, toestanden, 
en continue waarden, 
voor de situatie waarbij het atoom geioniseerd is, 
d.w.z. als het electron is los geraakt van de atoomkern.
De discrete energiewaarden van de gebonden toestanden
leiden tot de discrete spectraallijnen 
die al in de 19-de eeuw zijn waargenomen. 
Met de klassieke mechanica kon men 
het optreden van discrete spectraallijnen niet verklaren.
Dit heeft tot de quantummechanica geleid.

\bigskip
\noindent
b. Algemeen wordt het gemiddelde, 
of {\em verwachtingswaarde}\,  
van een observabele grootheid ${\hat{A}}$  
in een toestand ${\psi}$ gegeven door de formule 
$$
{\bar{a}} = ({\psi}, {\hat{A}}{\psi}),
$$
de standaardafwijking, of {\em spreiding}\, ${\Delta}a$, 
door 
$$
({\Delta}a)^2 = {\overline{(a-{\bar{a}})^2}} = 
({\psi}, ({\hat{A}} - {\bar{a}})^2 {\psi}).
$$

\bigskip
\noindent
c. De verwachtingswaarde voor de plaats $x$ van
een $1$-dimensionaal deeltje in een toestand ${\psi}$ is
$$
{\bar{x}} = 
\int_{-\infty}^{+\infty} {\psi}(x)^* x {\psi}(x) dx =
\int_{-\infty}^{+\infty} x|{\psi}(x)|^2 dx.
$$
Merk op dat dit een gemiddelde 
is ten opzichte van de {\em kansdichtheid}\, 
${\rho}(x) = |{\psi}(x)|^2$,
in de gewone zin van de kanstheorie.
Ook de spreiding ${\Delta}x$ is 
de gewone standaardafwijking 
van de variabele $x$ 
ten opzichte van deze kansdichtheid.

\bigskip
\noindent
De verwachtingswaarde van de impuls $p$ 
van zo'n deeltje in ${\psi}$ is op soortgelijke manier
$$
{\bar{p}} = 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
\left( 
{\psi}(x)^* 
\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} {\psi}(x) 
\right) dx =
\int_{-\infty}^{+\infty} p|{\hat{\psi}}(p)|^2 dp,
$$
met
$$
{\hat{\psi}}(p) = 
\frac{1}{(2{\pi}{\hbar})^{1/2}} \,
\int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{-\frac{i}{\hbar} px} {\psi}(x)dx
$$
de Fourier-getransformeerde van ${\psi}(x)$,
opnieuw een gewoon gemiddelde, 
nu ten opzichte van de kansdichtheid
${\hat{\rho}}(p) = |{\hat{\psi}}(p)|^2$.

\bigskip
\noindent
d. Een willekeurige toestand ${\psi}$ 
van een $1$-dimensionale 
oscillator kan geschreven worden als
$$
{\psi}(x) = 
\sum_{n=0}^{\infty} \,
c_n {\psi}_n(x),
$$
met de ${\psi}_0, {\psi}_1, \ldots$ 
het volledig orthonormaal 
stelsel van eigenvectoren van ${\hat{H}}$.
De verwachtingswaarde van de energie 
in die toestand is, na een korte berekening,
$$
{\overline{E}} = \sum_{n =0}^{\infty} E_n |c_n|^2,
$$ dus ook weer een gewoon gemiddelde, 
nu over de discrete kansverdeling
${\rho}_n = |c_n|^2$, 
die genormeerd is 
omdat de toestandsfunctie ${\psi}(x)$ genormeerd is.

\bigskip
\noindent
Opmerking: 
Stel dat ${\psi}$ zelf een eigentoestand 
${\psi}_{n_1}$ is. 
Dan zullen geldt voor 
de co\"{e}ffici\"{e}nten $c_n$ 
dat $c_{n_1} = 1$, en $c_n = 0$ 
voor $n \neq n_1$. 
In dat geval 
weten we met {\em zekerheid}\, 
dat we bij meting van de scherpe 
energiewaarde $E_{n_1}$ zullen vinden. 

\bigskip
\noindent
De bovenstaande voorbeelden illustreren 
de fysische interpretatie van de quantummechanica, 
in termen van toestandsfuncties 
en hermitische operatoren, 
en met behulp van begrippen als kansen en gemiddelden.
Als de operator die een observabele grootheid voorstelt 
discreet spectrum heeft 
gebruiken we discrete kansrekening; 
in het geval van continu spectrum 
moeten we onze toevlucht nemen tot 
continue kanstheorie, 
met kansdichtheden in plaats van discrete kansen.

\bigskip
\bigskip
\noindent
4. TIJDSEVOLUTIE

\medskip
\bigskip
\noindent
$\bullet$ \, {\em De Hamilton-operator 
- meestal de energie-operator - bepaalt de dynamica 
van een quantumsysteem door middel van de
Schr\"{o}dinger-vergelijking, 
een differentiaalvergelijking 
voor de tijdsafhankelijkheid van toestandsfuncties}

\newpage
\noindent
Uitwerking en voorbeelden:

\bigskip
\noindent
a. Voor het $1$-dimensionale vrije deeltje 
luidt de Schr\"{o}dingervergelijking
$$
-\frac{\hbar}{i} 
\frac{\partial}{\partial t} {\psi}(x, t) = 
({\bar{H}}{\psi})(x, t),
$$
of
$$
-\frac{\hbar}{i} 
\frac{\partial}{\partial t} {\psi}(x, t) = 
-\frac{{\hbar}^2}{2m} \,
\frac{{\partial}^2}{{\partial x}^2} {\psi}(x,t).
$$
Voor de $1$-dimensionale oscillator
$$
-\frac{\hbar}{i} 
\frac{\partial}{\partial t} {\psi}(x, t) = 
({\bar{H}}{\psi})(x, t)
$$
en gelijk aan
$$
-\frac{\hbar}{i} 
\frac{\partial}{\partial t} {\psi}(x, t) = 
-\frac{{\hbar}^2}{2m} \,
\frac{{\partial}^2}{{\partial x}^2} {\psi}(x,t)
+ \frac{1}{2} m{\omega}^2 x^2 {\psi}(x,t),
$$
en voor een vrij $3$-dimensionaal deeltje
$$
-\frac{\hbar}{i} 
\frac{\partial}{\partial t} {\psi}(x,y,z, t) = 
({\bar{H}}{\psi})(x,y,z, t)
$$
of expliciet
$$
-\frac{\hbar}{i} 
\frac{\partial}{\partial t} {\psi}(x,y,z, t) = 
- \frac{{\hbar}^2}{2m} \, 
\left( 
\frac{{\partial}^2}{{\partial x}^2} +
\frac{{\partial}^2}{{\partial y}^2} +
\frac{{\partial}^2}{{\partial z}^2}
\right)
{\psi}(x,y,z,t).
$$

\bigskip
\noindent
b. Een eigentoestand van ${\hat{H}}$, 
bij eigenwaarde $E$, 
gaat na een tijdsverloop $t$ over in 
dezelfde toestand vermenigvuldigd 
met de fasefactor $e^{- (i/{\hbar}){\hat{H}}t}$. 
Zo'n toestand wordt {\em stationnair}\, genoemd, 
omdat de kansen, verwachtingswaarden, spreidingen, etc., 
voor alle observabelen in zo'n toestand constant zijn. 

\newpage
\noindent
{\LARGE{EEN SYSTEEM VAN VRIJE DEELTJES -}} 

\bigskip
\noindent
{\LARGE{OPLOSSING VAN}} 

\bigskip
\noindent
{\LARGE{DE SCHR\"{O}DINGER VERGELIJKING}}

\medskip
\bigskip
\noindent
In deze notitie, 
die in de plaats komt van Appendix D van de syllabus, 
bepalen we de eigenfuncties 
en eigenwaarden 
van de Hamilton-operator $\hat{H}$ 
van een quantummechanisch systeem 
van $N$ vrije puntdeeltjes met massa $m$, 
opgesloten in een kubus met volume $V = L^3$. 

\bigskip
\noindent
De resultaten voor de operator 
$\hat{H}$ van zo'n uit 
$N$ niet met elkaar 
wisselwerkende $3$-dimensionale 
deeltjes bestaand systeem
volgen eenvoudig uit de resultaten
voor 
de Hamilton-operator van 
\'{e}\'{e}n $1$-dimensionaal vrij deeltje. 
We bepalen daarom eerst 
de eigenfuncties en eigenwaarden 
van de $1$-dimensionale Hamiltoniaan
$$
\hat{H} = \frac{{\hat{p}}^2}{2m} = 
- \frac{{\hbar}^2}{2m} 
\, \frac{d^2}{dx^2}\,.
$$
De tijdsonafhankelijke Schr\"{o}dinger-vergelijking, 
de vergelijking voor de eigenfuncties 
en eigenwaarden van ${\hat{H}}$, luidt dan
$$
- \frac{{\hbar}^2}{2m}\,
\frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = E \psi (x),
$$ 
voor golffuncties $\psi (x)$, 
gedefini\"{e}erd op het interval $[0,L]$, 
en normeerbaar in de zin dat 
$\int_0^L | \psi (x) |^2 dx$ 
eindig of gelijk aan $1$ is.
We schrijven de vergelijking als 
$$
\frac{d^2}{dx^2} 
\psi (x) = - {\lambda}^2 \psi (x).
$$
Heel in het algemeen zijn de oplossingen 
van deze vergelijking van de vorm
$$
\psi (x) = C_+ \,  e^{i{\lambda} x} 
+ C_- \, e^{-i {\lambda}x}.
$$
Om een goed eigenwaardenprobleem te hebben 
moet er een {\em randvoorwaarde}\, worden opgelegd.
Ik kies daarvoor de eis $\psi (L) = \psi (0) = 0$.
Deze betekent fysisch dat het deeltje 
door de wand op de plaats $x=0$ en $x=L$ 
wordt teruggekaatst, 
zonder verlies van energie, 
en met omkering van de richting van de snelheid. 
Toepassing van de randvoorwaarde geeft 
op de eerste plaats dat $C_+ = -\, C_-$.
Verder vinden we dat $\lambda$ inderdaad 
re\"{e}el moet zijn, en daarom positief genomen kan worden, 
en tenslotte dat $\lambda$ de waarden 
$\lambda = {\pi}n/L$ aanneemt, voor $n = 1,2, \ldots$\,. 
We kunnen de oplossingen dus schrijven als
$$
\psi (x) = C \, {\sin {\lambda}}x = 
C \, {\sin {{\frac{{\pi}n}{L}}}}x .
$$ 
Met de bekende en gemakkelijk uit te rekenen integraal 
$$
\int_o^{\pi} {\sin}^2 x \, dx = \frac{\pi}{2}
$$
vinden we dat we de oplossingen (kwadratisch) op $1$ 
kunnen normeren door $C = \sqrt {\frac{2}{L}}$ te kiezen.
Met
$$
E = \frac{{\lambda}^2 {\hbar}^2}{2m}  
$$ 
krijgen we tenslotte als oplossing van dit $1$-dimensionale 
probleem de eigenfuncties 
$$
{\psi}_n(x) = \sqrt {\frac{2}{L}} \, 
\sin \left(\frac{{\pi}n}{L} x\right)
$$
en eigenwaarden
$$
E_n = \frac{{\pi}^2 {\hbar}^2 n^2}{2mL^2},
$$
voor $n = 1,2, \ldots $\,.

\bigskip
\noindent
Voor de eigenfuncties 
van een $3$-dimensional vrij deeltje, 
opgesloten in een kubus met volume $V= L^3$, 
nemen we alle {\em producten}\,  
van $1$-dimensionale eigenfuncties,
dus 
$$
{\psi}_{n_x , n_y , n_z} (x,y,z) =
{\psi}_{n_x}(x) {\psi}_{n_y}(y){\psi}_{n_z}(z),
$$
met als energie-eigenwaarden 
de {\em sommen}\,
$$
E_{n_x, n_y, n_z} = 
E_{n_x} + E_{n_y} + E_{n_z} = 
\frac{{\pi}^2 {\hbar}^2 
(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)}
{2mL^2},
$$
voor $n_x,n_y, n_z = 1,2, \ldots$\,.

\bigskip
\noindent
Tenslotte kunnen we hieruit de eigenfuncties 
en eigenwaarden van een systeem 
van $N$ deeltjes afleiden, 
door opnieuw producten 
van $1$-deeltjes eigenfuncties en 
sommen van $1$-deeltjes energie-eigenwaarden 
te nemen. We gebruiken de notaties
\begin{eqnarray*}
& {\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N = 
(x_1, y_1, z_1), \dots , (x_N , y_N , z_N)\\
& {\vec{n}}_1 , \ldots , {\vec{n}}_N  = 
(n_{x_1}, n_{y_1} , n_{z_1}) , 
\ldots , (n_{x_N} , n_{y_N}, n_{z_N})\\
& {\vec{n}}_j^2 = n_{x_j}^2 +  
n_{y_j}^2 +  n_{z_j}^2,
\end{eqnarray*}
en krijgen in eerste instantie de eigenfuncties
$$
{\psi}_{{\vec{n}}_1 , \ldots , {\vec{n}}_N}
\, ({\vec{r}}_1, \dots , {\vec{r}}_N) = 
{\psi}_{{\vec{n}}_1} ({\vec{r}}_1) \ldots 
{\psi}_{{\vec{n}}_N} ({\vec{r}}_N),
$$
met daarbij de eigenwaarden
$$ 
E_{{\vec{n}}_1, \ldots {\vec{n}}_N} = 
\sum_{j =1}^N \, \frac{{\pi}^2 
{\hbar}^2 {\vec{n}}_j^2}{2mL^2}. 
$$
We veronderstellen
dat we te maken hebben 
met {\em identieke}\, deeltjes.
In de quantummechanische beschrijving 
van een systeem van $N$ identieke deeltjes 
moeten we onderscheid maken 
tussen twee soorten deeltjes, 
{\em bosonen}\, en {\em fermionen}\,.
Een $N$-bosontoestand wordt beschreven 
door een golffunctie 
${\psi}({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N)$
die {\em symmetrisch}\, 
is in de variabelen 
${\vec{r}}_1 , \ldots {\vec{r}}_N$.
De golffunctie van een $N$-fermiontoestand is 
{\em antisymmetrisch}\, 
onder permutaties 
van ${\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N$.

\bigskip
\noindent
Hoewel het voor de hand ligt om de in deze notitie 
beschouwde spinloze deeltjes als bosonen op te vatten, 
is het toch nuttig om de eigenschappen van dit systeem 
algemeen te bespreken, 
voor bosonen zowel als voor fermionen. 
De eigenfuncties van een dergelijk 
systeem van $N$ deeltjes in een container met volume $V$ 
zijn niet de afzonderlijke productfuncties
$$
{\psi}_{{\vec{n}}_1 , \ldots , {\vec{n}}_N}
({\vec{r}}_1 , \ldots , {\vec{r}}_N) =
{\psi}_{{\vec{n}}_1}({\vec{r}}_1) 
\ldots {\psi}_{{\vec{n}}_N} ({\vec{r}}_N),
$$
maar symmetrische of antisymmetrische 
lineaire combinaties daarvan.
Voor bosonen betekent dit
$$
{\psi}^s_{{\vec{n}}_1, \ldots , 
{\vec{n}}_N} ({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N) = 
\sum_{\sigma} \, 
c^s_{{\vec{n}}_1 , \ldots , {\vec{n}}_N} \,
{\psi}_1({\vec{r}}_{{\sigma}(1)})  
\ldots  
{\psi}_N({\vec{r}}_{{\sigma}(N)}) =
$$
\mbox{}
$$
= \sum_{\sigma} \, 
c^s_{{\vec{n}}_1 , \ldots , {\vec{n}}_N} \,
{\psi}_{\sigma (1)}({\vec{r}}_1)
\ldots  
{\psi}_{\sigma (N)}({\vec{r}}_N),
$$
met sommatie over alle permutaties 
$\sigma$ van de indices $1, \ldots , N$, 
en met constanten 
$s^s_{{\vec{n}}_1 , \ldots , {\vec{n}}_N}$ 
die er voor zorgen dat de ${\psi}^s$ 
ook weer op $1$ genormeerd zijn.  
Voor fermionen hebben we 
$$
{\psi}^a_{{\vec{n}}_1, \ldots , 
{\vec{n}}_N} ({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N) = 
\sum_{\sigma} \, 
{\mbox{sign}}(\sigma) \,
c^a_{{\vec{n}}_1 , \ldots , {\vec{n}}_N} \,
{\psi}_1({\vec{r}}_{{\sigma}(1)}) 
\ldots  
{\psi}_N({\vec{r}}_{{\sigma}(N)}) =
$$
\mbox{}
$$
= \sum_{\sigma} \, 
{\mbox{sign}}(\sigma) \,
c^a_{{\vec{n}}_1 , \ldots , {\vec{n}}_N} \,
{\psi}_{\sigma (1)}({\vec{r}}_1) 
\ldots 
{\psi}_{\sigma (N)}({\vec{r}}_N),
$$
met een andere normaliseringsfactor 
$c^a_{{\vec{n}}_1 , \ldots , {\vec{n}}_N}$ en
met bovendien 
de extra tekenfactor ${\mbox{sign}}(\sigma)$,
die $+1$ is als de permutatie $\sigma$ 
{\em even}\, is, 
d.w.z. geschreven kan worden 
als een even aantal paarverwisselingen, 
en $-1$ als $\sigma$ {\em oneven}\, is.
Door de symmetrisatie, 
respectievelijk antisymmetrisatie 
zijn er {\lq minder\rq} energie-eigenfuncties: 
voor iedere permutatie $\sigma$ 
is de toestand 
${\psi}^s_{{\vec{n}}_{{\sigma}(1)}, 
\dots , {\vec{n}}_{{\sigma}(N)}}$, 
respectievelijk 
${\psi}^a_{{\vec{n}}_{{\sigma}(1)}, 
\dots , {\vec{n}}_{{\sigma}(N)}}$, 
eventueel op een teken na, gelijk aan
${\psi}^s_{{\vec{n}}_1, \dots , {\vec{n}}_N}$,  
respectievelijk
${\psi}^a_{{\vec{n}}_1, \dots , {\vec{n}}_N}$.
Om de toestandsfuncties eenduidig 
aan te geven gebruiken we 
{\em geordende}\, rijen indices,
$$
{\vec{n}}_1 \leq  {\vec{n}}_2 \leq 
\cdots \leq {\vec{n}}_N
$$
voor het geval van bosonen, en
$$
{\vec{n}}_1 <  {\vec{n}}_2 < 
\cdots < {\vec{n}}_N
$$
voor fermionen. 
De ordening is {\em lexicografisch}\, 
d.w.z. dat we bij het vergelijken 
van twee vectorindices ${\vec{n}}_j$ 
en ${\vec{n}}_k$ eerst 
de $x$-componenten vergelijken, 
als die gelijk zijn de $y$-componenten, 
en als die ook gelijk zijn de $z$-componenten.

\bigskip
\noindent
Voor de statistisch-fysische behandeling 
van een $N$-deeltjes systeem 
zijn we alleen ge\"{\i}nteresseerd 
in de energie-eigenwaarden 
en hun ontaarding.

\bigskip
\noindent
{\em Opmerking}\,: In de syllabus 
is voor het $1$-dimensionale probleem 
een andere randvoorwaarde gekozen, 
n.l. ${\psi}(L) = {\psi}(0)$ en 
$\frac{d{\psi}}{dx}(0) = \frac{d{\psi}}{dx}(L)$. 
Men vindt andere eigenfuncties 
en eigenwaarden, n.l.
$$
{\psi}_n (x) = \frac{1}{\sqrt L} \, e^{2{\pi}inx/L}
$$
\mbox{}
$$
E_n = \frac{4{\pi}^2 {\hbar}^2 n^2}{2mL^2}.
$$
Deze periodieke 
randvoorwaarde is eenvoudiger 
om mee te rekenen, 
maar is voor gewone deeltjes 
tamelijk onfysisch.
Ze betekent 
dat deeltjes die tegen een wand botsen 
niet worden teruggekaatst, 
maar door de wand verwijnen, 
onmiddelijk weer verschijnen 
bij de tegenoverliggende wand 
en vandaar hun beweging met dezelfde snelheid 
en in de zelfde richting voortzetten.  
Bij de {\mbox{beschrijving} van in een ruimte opgesloten 
electromagnetische straling 
kan men ook een deeltjesconcept gebruiken.
De betreffende deeltjes hebben 
echter ongebruikelijke eigenschappen: 
ze zijn massaloos en hebben altijd de lichtsnelheid. 
Het heeft geen zin om ze een positie toe te kennen.
Voor zulke systemen van {\mbox{{\lq stralingsquanten\rq}}, 
of {\em fotonen}\,, 
zijn periodieke randvoorwaarden fysisch 
meer voor de hand liggend.

\newpage
\noindent
{\LARGE{GAUSSISCHE INTEGRALEN}}

\medskip
\bigskip
\noindent
Bezie, voor $n = 0, 1, 2, \ldots$, 
de volgende elementaire {\lq Gaussische\rq} integralen:
$$
{\mathcal{I}}_n \, : \, =
\int_{- \infty}^{+\infty}\, x^n \, e^{-x^2} \, dx.
$$

\medskip
\noindent
Er geldt

\bigskip
$\bullet$ \, ${\mathcal{I}}_n = \frac{n-1}{2} 
\, {\mathcal{I}}_{n-2}$, voor $n = 2,3, \dots$.

\medskip
$\bullet$ \, ${\mathcal{I}}_0 = \sqrt{\pi}$, 

\medskip
$\bullet$ \, ${\mathcal{I}}_1 =0$,

\bigskip
\noindent
en daarmee algemeen, 
voor $k = 1,2, \dots$,

\bigskip
$\bullet$ \, ${\mathcal{I}}_{2k} = 
\frac{1.3.5. \ldots 2k-1}{2^k} \, \sqrt{\pi}$,

\medskip
$\bullet$ \, ${\mathcal{I}}_{2k-1} = 0$.

\bigskip
\noindent
Tenslotte heeft men de iets algemenere 
{\lq Gaussische\rq} integraal
$$
\int_{- \infty}^{+ \infty}\,
 x^n \, e^{-{\lambda}x^2} \, dx = 
{\lambda}^{- \frac{n+1}{2}} \, {\mathcal{I}}_n,
$$
voor ${\lambda} > 0$ en $n = 0,1,2 \ldots $.

\medskip
\bigskip
\noindent
EEN TOEPASSING

\bigskip
\noindent
De functie
$$
{\rho}(x) = 
\frac{1}{\sqrt{2{\pi}} {\sigma}} \, 
e^{- \frac{(x-a)^2}{2{\sigma}^2}}
$$
is de kansdichtheid van een Gaussische kansverdeling,
met gemiddelde ${\bar{x}}=a$, 
en met spreiding (standaardafwijking) 
${\Delta}x= { \left( \overline{(x - {\bar{x}})^2} 
\right) }^{1/2} = {\sigma}$.

\newpage
\noindent
{\LARGE{INHOUD EN OPPERVLAK}}

\bigskip
\noindent
{\LARGE{VAN EEN BOL IN $R^d$}}

\medskip
\bigskip
\noindent
Het {\em volume}\, $V_d(R)$ van een bol met straal $R$ 
in de $d$-dimensionale Euclidische ruimte is
$$
V_d(R) = 
\frac{{\pi}^{d/2}}{{\Gamma}(\frac{d}{2} + 1)} \, R^d.
$$
Het {\em oppervlak}\, $O_d(R)$ van een bol met straal $R$ 
in de $d$-dimensionale Euclidische ruimte is
$$
O_d(R) = 
\frac{d}{dR} V_d(R) =
\frac{d \, {\pi}^{d/2}}{{\Gamma}(\frac{d}{2} + 1)}
 \, R^{d-1} =
\frac{2 \, {\pi}^{d/2}}{{\Gamma}(\frac{d}{2})} 
\, R^{d-1}.
$$
Hierbij is, voor (o.a.) alle $z \, \geq \, \frac{1}{2}$, 
de {\em gamma-functie}\, ${\Gamma}(z)$ 
gedefinieerd als de integraal
$$
{\Gamma}(z) \, : \, =
\int_0^{\infty} \, e^{-t} \, t^{z-1} \, dt,
$$

\bigskip
\noindent
Enkele van de eigenschappen van de gamma-functie:

\bigskip
$\bullet \, \, {\Gamma}(\frac{1}{2}) = {\pi}^{1/2}$

\bigskip
$\bullet \, \, {\Gamma}(1) = 1$

\bigskip
$\bullet \, \, {\Gamma}(z+1) = z {\Gamma}(z)$, 
\, \, voor (o.a.) alle $z \, \geq \, \frac{1}{2}$

\bigskip
$\bullet \, \, {\Gamma}(n +1) = n!$, 
\, \, voor $n =0, 1,2 \ldots$

\bigskip
\noindent
Men kan in de gamma-functie voor $n \rightarrow \infty$ 
als benadering voor $n!$ de asymptotische formule 
$n! \approx n^n e^{-n}\sqrt{2{\pi}n}$ gebruiken, 
de {\em formule van Stirling}\,. 
Voor zeer grote waarden van $n$, 
zoals in de statistische mechanica, 
waar men kan denken aan $n \approx 10^{23}$, 
is de iets grovere benadering $n \approx n^n e^{-n}$ 
ook al voldoende.

\bigskip
\noindent
Voor een bewijs van de formule van Stirling, 
zie de syllabus, Appendix A, blz. 133.

\newpage
\noindent
{\LARGE{NATUURKUNDIGE THEORIEEN}}

\medskip
\bigskip
\noindent
Het is goed om in de natuurkunde onderscheid 
te maken tussen {\em de natuurkundige werkelijkheid}\, 
en {\em natuurkundige theorieen}\,.

\bigskip
\noindent
Met de {\em natuurkundige werkelijkheid}\,, 
een weidse en wat vage term,  
bedoel ik het geheel van experimentele 
kennis van de natuurkunde;
alles wat we weten als gevolg van observeren 
en meten.

\bigskip
\noindent
Een {\em natuurkundige theorie}\, 
is een model dat we hebben opgesteld 
om die fysische werkelijkheid 
of, zoals meestal het geval is - een gedeelte daarvan, 
te kunnen {\em begrijpen}\,. 
Een goede theorie heeft twee eigenschappen:

\noindent
1. Ze zit logisch goed in elkaar 
en kan uit een beperkt aantal veronderstellingen 
worden afgeleid. 
Bij die afleidingen gebruiken we wiskunde.
Een losse verzameling formules is {\em geen}\, theorie.

\noindent
2. Ze leidt tot uitspraken en liefst voorspellingen, 
die experimenteel getest kunnen worden.
Als een theorie geen experimenteel 
verificeerbare uitspraken doet, 
is het geen echte fysische theorie. 
Als een fysiche theorie 
wel voorspellingen doet, 
maar die voorspellingen kloppen niet
met wat de experimenten ons vertellen, 
hebben we er ook niets aan. 
Het is dan een incorrecte fysische theorie.
(Zie echter de hierna volgende 
opmerking over geldigheidsgebieden.)

\bigskip
\noindent
Een fysische theorie heeft altijd een {\em geldigheidsgebied}\,.
Vaak blijkt een theorie waarvan men dacht 
dat ze algemeen geldig was 
toch een beperkt geldigheidsgebied te hebben 
en moet ze buiten dat gebied door een nieuwe algemenere theorie 
worden vervangen. 
De oude theorie blijft dan bruikbaar als goede benadering. 
Men zal dan de oude theorie in het beperkte gebied 
een {\lq goede\rq} theorie blijven noemen.
Als voorbeeld kunnen we denken 
aan de klassieke mechanica van Newton. 
Tot het begin van deze eeuw 
dacht men dat deze algemeen geldig was. 
Nu weet men dat ze goed is voor macroscopische systemen, 
maar voor verschijnselen op atomaire schaal 
door de quantummechanica moet worden vervangen.
Sinds Einstein weet men bovendien 
dat als men te maken heeft met hoge snelheden, 
snelheden die in de buurt van de snelheid van het licht komen,
de klassieke mechanica ook niet meer geldig is, 
maar moet worden vervangen 
door een op de relativiteitstheorie gebaseerde mechanica.

\bigskip
\noindent
In een fysische theorie gebruikt men 
ter vereenvoudiging vaak {\em idealisaties}\,. 
Zo'n idealisatie is bijvoorbeeld de aaname 
dat we in een mechanisch systeem 
te maken hebben met puntvormige deeltjes. 
Voor bepaalde toepassingen is deze aanname gerechtvaardigd, 
voor andere niet. 
De gebruikte idealisaties bepalen mede 
het geldigheidsgebied van een theorie.

\bigskip
\noindent
Er is in de natuurkunde 
een algemeen {\em unificatie-ideaal}\,. 
Men probeert steeds verschillende theorieen 
die van elkaar gescheiden gebieden 
van natuurkundige verschijnselen beschrijven, 
door een algemenere theorie te vervangen, 
die de afzondelijke gebieden omvat. 
Een historisch voorbeeld: 
in het midden van de vorige eeuw 
is men electriciteit en magnetisme en electriciteit 
als een geheel gaan zien. 
Vervolgens slaagde Maxwell er in 
een algemene theorie 
van electromagnetische verschijnselen op te stellen 
die ook het licht en dus de optica omvat. 
Ondanks dit unificatie-ideaal 
blijft het toch zo dat het grootste deel 
van de theoretische natuurkundigen zich in hun dagelijks werk
bezig houden met het opstellen, uitwerken en (laten) toetsen 
van theorieen of beter gezegd theoretische modellen 
die tot beter begrip moeten leiden van een beperkt 
maar niettemin interessant gebied van verschijnselen.

\bigskip
\noindent
Slotopmerking: Het onderscheid tussen 
wat ik de fysische werkelijkheid genoemd heb 
en theorieen over die werkelijkheid is natuurlijk niet absoluut. 
De fysische werkelijkheid, 
het geheel van experimenteel gevonden feiten, 
is niet zomaar een opzichzelf staand iets, 
niet een collectie losse feiten. 
De meeste experimenten worden gedaan 
vanuit een bepaald theoretisch kader, 
dat men wil toetsen en verder ontwikkelen.
Zonder theoretische begrippen kunnen we 
ook nauwelijks praten over experimenten en 
de resultaten van experimenten.
Toch is het soms verhelderend 
om het onderscheid tussen 
de fysische werkelijkheid en fysische theorieen te maken, 
zoals ik dat in het voorafgaande gedaan heb.

\end{document} 




