
\documentclass{article}

\begin{document}

\noindent
{\em College 
Statistische Fysica 1. Najaar 1998 en 1999}

\bigskip
\medskip
\noindent
{\large{P.J.M. Bongaarts}}

\bigskip
\bigskip
\noindent
({\em opgaven.tex}\,)

\medskip
\noindent
12 december 1999


\medskip
\bigskip
\bigskip
\noindent
{\huge{OPGAVEN MET UITWERKINGEN}}

\bigskip
\bigskip
\noindent
Deze collectie opgaven met hun uitwerkingen 
is een aanvulling bij de in de syllabus 
van Denteneer gegeven opgaven. 
Het gaat daarbij in het bijzonder 
om opgaven die betrekking hebben op 
de grondbegrippen van de ensembletheorie, 
zoals die in mijn notitie 
{\em Grondbegrippen 
van de Statistische Fysica - Ensembles}\, 
zijn uiteengezet. 
Sommige opgaven zijn bewerkingen 
van opgaven uit de syllabus.

\newpage
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-01}}

\bigskip
\noindent
(Bewerking van Opgave 1 
uit de syllabus van Denteneer)

\bigskip
\noindent
Voor een stochastische variabele $X$ 
bezien we twee kansverdelingen:

\bigskip
\noindent
1. een continue kansverdeling 
gegeven door de kansdichtheid 
$$
P_1(x) = C_1 e^{- {\alpha}(x - x_0)^2},
$$
2. een discrete kansverdeling, 
gegeven door de {\lq kansdichtheid\rq}
$$
P_2(x) = 
C_2[{\delta}(x-x_1) + {\delta}(x-x_2)].
$$

\medskip
\noindent
a. Bereken $C_1$ en $C_2$, 
met gebruikmaking van het feit dat 
kansverdelingen genormeerd zijn.

\medskip
\noindent
b. Bereken de gemiddelde waarde van $X$ 
(notatie $\langle X \rangle$ of ${\overline{X}}$) 
voor beide verdelingen.

\smallskip
\noindent
c. Bereken de standaardafwijking 
(of spreiding) ${\Delta}X = 
\left( {\overline{(X - {\overline{X}})^2}}
\right)^{1/2}$ 
voor beide verdelingen.

\medskip
\noindent
Gebruik bij de berekeningen voor 
$P_1$ de Gaussische integralen 
gegeven in de notitie {\lq Hulpmateriaal 
bij het college Statistische Fysica 1\rq}.

\medskip
\bigskip
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-01}}

\bigskip
\noindent
a. Kansverdelingen zijn -- 
per definitie -- op \'{e}\'{e}n genormeerd. 
Dus voor $P_1(x)$ :
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} P_1(x)\, dx =
C_1\int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{-{\alpha}(x-x_0)^2} dx = 1.
$$
Er geldt 
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{-{\alpha}(x-x_0)^2} dx = 
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-{\alpha}y^2}dy.
$$
(De parameter ${\alpha}$ 
is natuurlijk positief verondersteld). 
Met de Gaussiche integraal 
uit het desbetreffende hoofdstuk 
in {\lq Hulpmateriaal \ldots\rq} 
wordt dit $\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$, 
dus: {\em resultaat}\,: 
$C_1 = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}$.

\medskip
\noindent
Voor $P_2$ :
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} 
P_2(x)\, dx =
C_2 \int_{-\infty}^{+\infty} 
[{\delta}(x-x_0) + 
{\delta}(x-x_2)] dx = 1.
$$
Met de basiseigenschap 
van de $\delta$-functie krijgen we
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} 
[{\delta}(x -x_1) + 
{\delta}(x-x_2)] dx = 2.
$$
(Merk op 
dat we de $\delta$-functie gebruiken 
om een discrete kansverdeling 
als een {\lq kansdichtheid\rq} te schrijven.) 
We krijgen dus:
{\em resultaat}\,: $C_2 = \frac{1}{2}$.

\bigskip
\noindent
b. Voor $P_1(x)$ :
\begin{eqnarray*}
& & \langle X \rangle_{P_1} =
\int_{-\infty}^{+\infty} xP_1(x) \, dx =
\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
x\, e^{-{\alpha}(x-x_0)^2} dx = \\
& & = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} 
\int_{-\infty}^{+\infty} (y + x_0) 
\, e^{-{\alpha}y^2} dy = \\
& & = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
y\, e^{-{\alpha}y^2} dy + 
\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \, 
x_0 \, \int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{-{\alpha}y^2}dy.
\end{eqnarray*}
De eerste term is $0$ 
omdat de integrand een 
oneven functie van $y$ is. 
Voor de tweede term 
gebruiken we dezelfde integraal 
als in a. We vinden daarmee:
{\em resultaat}\,: 
$\langle X \rangle_{P_1} = x_0$.  
(niet verrassend!).

\medskip
\noindent
Voor $P_2$ : 
$$
\langle X \rangle_{P_2} =
\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} 
(x \, {\delta}(x-x_1) + x \, 
{\delta}(x-x_2) ) dx.
$$
We gebruiken de basiseigenschap 
van de $\delta$-functie
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \, 
{\delta}(x - x_0) dx = g(x_0),
$$
dus 
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x 
{\delta}(x-x_1) dx = x_1, 
\, \, \, \, \, \, \, \, \, 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
x {\delta}(x-x_2) dx = x_2.
$$
Daarmee het {\em resultaat}\,: 
$\langle X \rangle_{P_2} = 
\frac{1}{2} (x_1 + x_2)$. 
(Ook niet verrassend!)

\bigskip
\noindent
c. We hebben algemeen
${\Delta}X = 
\left({\overline{(X - {\overline{X}})^2}} 
\right)^{1/2}$.

\smallskip
\noindent
Voor $P_1$ :
\begin{eqnarray*}
& & ({\Delta}X)_{P_1}^2 =
\int_{-\infty}^{+\infty} 
(x-x_0)^2 P_1(x) \, dx =\\
& & = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} 
\int_{-\infty}^{+\infty} (x-x_0)^2 \, 
e^{-{\alpha}(x-x_0)^2} dx = 
\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} 
\int_{-\infty}^{+\infty} y^2 e^{-y^2} dy.
\end{eqnarray*}
Met een tweede Gaussische 
integraal, 
uit het desbetreffende hoofdstuk 
van {\lq Hulpmateriaal \ldots \rq}, 
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} 
y^2 e^{-{\alpha}y^2} dy =
\frac{{\pi}^{1/2}}{2 {\alpha}^{3/2}},
$$
vinden we 
$$
({\Delta}X)^2_{P_1} = \frac{1}{2{\alpha}},
$$
en dus het {\em resultaat}\,: 
$({\Delta}X)_{P_1} = 
\frac{1}{(2 \alpha )^{1/2}}$. 

\medskip
\noindent
Voor $P_2$ is het handig 
om een bekende uitdrukking 
voor $({\Delta}X)^2$ te gebruiken:
\begin{eqnarray*}
& & ({\Delta}X)^2 = 
\overline{(X - \overline{X} )^2} = 
\overline{X^2 - 2X \overline{X} + 
( \overline{X} )^2} =\\ 
& & = \overline{X^2} - 
2 \overline{X} \, \overline{X} 
+ ( \overline{X} )^2 =  
\overline{X^2} - ( \overline{X} )^2,
\end{eqnarray*}
dus $({\Delta}X)^2 = 
\overline{X^2} - ( \overline{X} )^2$.

\smallskip
\noindent
Daarmee
\begin{eqnarray*}
& & (\overline{X^2})_{P_2} =
\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 P_2(x) dx =\\
& & = \frac{1}{2} 
\int_{-\infty}^{+\infty} (x^2 {\delta}(x-x_1) 
+ x^2 {\delta})x-x_2) ) dx =
\frac{1}{2} (x_1^2 + x_2^2),
\end{eqnarray*}
waarbij weer de basiseigenschap 
van de $\delta$-functie gebruikt is.
We hebben ook
$$
(\overline{X} )^2_{P_2} = 
\frac{1}{2} (x_1 + x_2)^2.
$$
Samen 
\begin{eqnarray*}
& & ({\Delta}X)^2_{P_2} = 
\frac{1}{2} (x_1^2 + x_2^2) -
\frac{1}{4} (x_1 + x_2)^2 = \\
& & = \frac{1}{4} x_1^2 + \frac{1}{4} x_2^2 
- \frac{1}{2} x_1 x_2 =
\frac{1}{4} (x_1 -x_2)^2,
\end{eqnarray*}
en daarmee het {\em resultaat}\,: 
$({\Delta}X)_{P_2} = 
\frac{1}{2} | x_1 - x_2 |$.

\bigskip
\bigskip
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-02}}

\bigskip
\noindent
(Bewerking van Opgave 2 uit de syllabus van Denteneer)

\bigskip
\noindent
In een vat met volume $V$ bevinden zich 
$N$ moleculen.
Bezie een deel van het vat met volume $v$. 
We veronderstellen dat de kans dat een molecuul 
zich in dit deel bevindt gelijk is aan $q = v/V$
en verder dat deze kansen 
voor de verschillende moleculen 
onafhankelijk van elkaar zijn.

\medskip
\noindent
a. Het totaal aantal moleculen $n$ in 
in het deelvat is een stochastische variabele.
Beargumenteer dat de kans 
dat er zich precies $n$ moleculen 
in het deelvat bevinden gelijk is aan
$$
f(n) = \frac{N!}{n!(N-n)!} \, q^n(1-q)^{N-n}.
$$
b. Defini\"{e}er 
de genererende functie $G(x)$ als 
$$
G(x) = \sum_{n=0}^N f(n)x^n.
$$
Druk het gemiddelde ${\overline{n}}$ 
en de standaardafwijking ${\Delta}n$ 
uit in de afgeleiden van deze functie, 
genomen in een geschikt gekozen waarde van $x$.
Bereken deze afgeleiden, 
met gebruik van de algemene binomiaal-uitdrukking 
voor $(a + b)^N$, 
en bereken daarmee tenslotte 
${\overline{n}}$ en ${\Delta}n$.

\medskip
\noindent
c. Bezie de limiet $N, V \rightarrow \infty$, 
met $\frac{N}{V}$ en $v$ constant. 
Laat met behulp van het limietgedrag 
van de genererende functie $G(x)$ 
zien dat de kansverdeling $f(n)$ 
naar de Poissonverdeling 
met het zelfde gemiddelde gaat, 
d.w.z. dat geldt
$$
f(n) \, \approx \, 
\frac{e^{-\overline{n}}(\overline{n})^n}{n!}.
$$
Druk daartoe eerst $f(n)$ uit 
in een afgeleide van $G(x)$, 
genomen in een geschikte waarde van $x$, 
een andere dan in b.

\medskip
\bigskip
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-02}}

\bigskip
\noindent
a. Nummer de deeltjes van $1$ 
tot en met $N$. 
Kies een greep van $n$ deeltjes, 
d.w.z. selecteer een $n$-tal deeltjes, 
genummerd $i_1, \ldots, i_n$ 
uit het totale aantal. 
De kans dat dit $n$-tal zich 
in het deelvolume $V$ bevindt 
en de overige $(N-n)$-deeltjes niet, 
is gelijk aan $q^n(1-q)^{N-n}$ -- 
vanwege de onafhankelijkheid van de deeltjes. 
Hoeveel van dergelijke grepen zijn er? 
Voor $i_1$ hebben we $N$ mogelijkheden, 
voor $i_2$ nog $N-n$, 
voor $i_3$ nog $N-2$, etc., 
tenslotte voor $i_n$ 
nog $N-n+1$ mogelijk-heden. 
Dit geeft in eerste instantie 
\mbox{$N(N-1) \ldots (N-n +1) = N!/(N-n)!$} 
manieren om $n$ deeltjes te kiezen.
Een permutatie van de gekozen $n$-tallen 
geeft echter de zelfde greep. 
We moeten daarom nog delen
door het aantal permutaties van $n$ deeltjes, 
dus door $n!$. 
We vinden op deze wijze voor de kans 
dat er precies $n$ deeltjes te vinden zijn 
in het deelvolume, 
met dus de overige $N-n$ niet,
$$
f(n) = 
\frac{N!}{n!(N-n)!} \, q^n (1-q)^{N-n},
$$
ook te schrijven als
$$
f(n) = 
\left(
\begin{array}{cc}
N\\
n
\end{array}
\right)
q^n (1-q)^{N-n}.
$$

\bigskip
\noindent
b. Genererende functie:
$$
G(x) = \sum_{n=0}^N f(n)\, x^n.
$$
Eerste afgeleide daarvan:
$$
G^{(1)}(x) = \sum_{n=0}^N nf(n) x^{n-1}.
$$
Tweede afgeleide:
$$
G^{(2)}(x) = 
\sum_{n=0}^N n(n-1)f(n) x^{n-2}.
$$
Neem de  waarde van $G$ in $x=1$:
$$
G(1) = \sum_{n=0}^N f(n).
$$
Dit is de normering van $f$. 
De afgeleiden in $x=1$ geven  
\begin{eqnarray*}
& & G^{(1)} (1) = \sum_{n=0}^N nf(n) 
= \overline{n}\\
& & G^{(2)} (1) = 
\sum_{n=0}^N n(n-1) f(n) =\\
& & = \sum_{n=0}^N n^2 f(n) 
\, - \, \sum_{n=0}^N nf(n) =
\overline{n^2} - \overline{n}.
\end{eqnarray*}
Hiermee
\begin{eqnarray*}
& & \overline{n} = 
G^{(1)} (1)\\
& & \overline{n^2} = 
G^{(2)} (1) + G^{(1)} (1)\\
& & ({\Delta}n)^2 = 
\overline{(n - \overline{n} )^2}
 =\overline{n^2} - ({\overline{n}})^2 = 
G^{(2)} (1) + G^{(1)} (1) - (G^{(1)}(1))^2.
\end{eqnarray*}
dus resultaat:
\begin{eqnarray*}
& & \overline{n} = G^{(1)}(1)\\
& & {\Delta}n =
\Big( G^{(2)} (1) + 
G^{(1)} (1) - (G^{(1)} (1))^2 \Big)^{1/2}.
\end{eqnarray*}
Vervolgens berekenen we deze afgeleiden. 
Met behulp van 
de {\em binomiaal formule}
$$
(a + b)^N = \sum_{n=0}^N 
\left( 
\begin{array}{cc} 
N\\
n
\end{array}
\right)
 a^nb^{N-n}
$$
schrijven we 
\begin{eqnarray*}
& & G(x) = \sum_{n=0}^N f(n)x^n =
\sum_{n=0}^N 
\left(
\begin{array}{cc}
N\\
n
\end{array}
\right)
q^n(1-q)^{N-n} x^n =\\
& & = \sum_{n=0}^N 
\left(
\begin{array}{cc}
N\\
n
\end{array}
\right)
(qx)^n (1-q)^{N-n} =
(qx + 1 - q)^N.
\end{eqnarray*}
Differenti\"{e}ren geeft
\begin{eqnarray*}
& & G^{(1)}(x) = N(qx + 1 - q)^{N-1}q\\
& & {\Rightarrow} \, \, \, 
G^{(1)}(1) = Nq\\
& & G^{(2)}(x) = 
N(N-1) (qx + 1 -q)^{N-2} q^2\\
& & {\Rightarrow} \, \, \, 
G^{(2)}(1) = N(N-1) q^2.
\end{eqnarray*}
Dit geeft het uiteindelijke resultaat
\begin{eqnarray*}
& & \overline{n} = Nq\\
& & {\Delta}n = (Nq(1-q))^{1/2}
\end{eqnarray*}

\bigskip
\noindent
c. We drukken eerst de $f(n)$ uit in 
de afgeleiden van $G(x)$, genomen in $x=0$:
$$
G^{(0)}(x) = G(x) = \sum_{k=0}^N f(k)x^k,
$$
dus $G^{(0)}(0) = f(0)$,
$$
G^{(1)}(x) = 
\frac{d}{dx} G(x) = 
\sum_{k=0}^N kf(k) x^{k-1} =
\sum_{k=1}^N kf(k) x^{k-1} ,
$$
dus $G^{(1)} (0) = f(1)$,
$$
G^{(2)}(x) = \frac{d^2}{dx^2} G(x) =
\sum_{k=1}^N k(k-1)f(k) x^{k-2} =
\sum_{k=2}^N k(k-1) f(k) x^{k-2},
$$
dus $G^{(2)}(0) = 2 \cdot 1 \cdot f(2)$.

\medskip
\noindent
Algemener voor $n = 0, 1, \ldots , N$:
$$
G^{(n)}(x) = 
\frac{d^n}{dx^n} G(x) =
\sum_{k = n}^N k(k-1) 
\ldots (k-n +1)f(k) x^{k-n},
$$
dus $G^{(n)}(0) = n! f(n)$. 
Dit geeft het resultaat
$$
f(n) = \frac{G^{(n)}(0)}{n!}.
$$
We hebben in b berekend
$$
G(x) = (qx + 1 - q)^N = (1 +q(x-1))^N.
$$
Neem nu de limiet $N, V \rightarrow \infty$,
met $V$ en $V/N$ constant. 
Dit betekent dat $\overline{n} = 
Nq$ constant blijft.
We hebben daarom 
\begin{eqnarray*}
& & G(x) = (qx + 1- q)^N = (1 + q(x-1))^N =\\
& & = \Big( 1 + qN \frac{(x-1)}{N} \Big)^N =
\Big( 1+ \overline{n} \frac{(x-1)}{N} \Big)^N 
\, \rightarrow \,  e^{\overline{n} (1-x)}.
\end{eqnarray*}
Dus $G_{\infty}(x) = 
e^{\overline{n} (1-x)}$.

\medskip
\noindent
Defini\"{e}er 
$$
f_{\infty} (n) = \frac{1}{n!} G_{\infty}^{(n)} (0) =
\Big( ({\overline{n}})^n 
\frac{e^{\overline{n} (1-x)}}{n!} \Big)_{x=0} = 
\frac{e^{- \overline{n}} ({\overline{n}})^n}{n!}.
$$
Dit is een {\em Poisson-verdeling}\, 
met gemiddelde $\overline{n}$; 
de functie $G_{\infty}(x)$ is 
de genere-rende functie van deze kansverdeling.

\medskip
\noindent
Op deze manier hebben we laten zien 
dat in deze speciale limiet $q \rightarrow 0$,
$N \rightarrow \infty$, 
met $qN$ constant en gelijk aan $\overline{n}$, 
de verdeling van a naar een 
Poisson-verdeling met het zelfde gemiddelde gaat.

\bigskip
\bigskip
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-05}}

\bigskip
\noindent
(Bewerking van Opgave 5 uit de syllabus 
van Denteneer)

\bigskip
\noindent
a. Laat zien, 
met behulp van een herschalingsargument, 
dat het volume $V_n(R)$ 
van een bol in de $n$-dimensionale ruimte 
gelijk is aan 
$$
V_n(R) = c_n\, R^n,
$$
met $c_n$ een constante, 
gelijk aan het volume 
van de $n$-dimensionale bol 
met straal $R =1$.

\medskip
\noindent
b. Laat zien dat het oppervlak $O_n(R)$ 
van een $n$-dimensionale bol gelijk is aan
$$
O_n(R) = \frac{d}{dR} V_n(O) = nc_nR^{n-1}.
$$

\medskip
\noindent
c. Bereken de integraal
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx
$$
door deze te kwadrateren 
en vervolgens op poolcoordinaten 
over te gaan.

\medskip
\noindent
d. Bereken met behulp van het resultaat van c 
de $n$-dimensionale integraal
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} 
\ldots \int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{- \sum_{j=1}^n x_j^2} \,
dx_1 \dots dx_n.
$$

\medskip
\noindent
e. Laat zien dat men deze integraal 
ook kan schrijven als
$$
nc_n \, \int_0^{+\infty} \,
e^{-R^2} \, R^{n-1} dR.
$$

\medskip
\noindent
f. Combineer tenslotte de resultaten 
van d en e tot het eindresultaat
$$
V_n(R) = 
\frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}}
{{\Gamma}(\frac{n}{2} + 1)}
 \, R^n,
$$
met de Gamma-functie ${\Gamma}$ 
gedefinieerd 
als
$$
{\Gamma}(z) = 
\int_0^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt.
$$

\medskip
\bigskip
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-05}}

\bigskip
\noindent
a. Het volume $V_n(R)$ van een bol 
met straal $R$ in de $n$-dimensionale 
ruimte is gelijk aan de integraal
$$
V_n(R) = 
\int_{0\, \leq \, 
\sum_{j=1}^n x_j^2 \, \leq \, R^2} 
dx_1 \ldots dx_n.
$$
Ga over op nieuwe integratievariabelen 
$x_j^{\prime} = R^{-1}x_j$, 
voor $j=1, \ldots , n$. Dit geeft
\begin{eqnarray*}
& & V_n(R) = 
\int_{0 \, \leq \, \sum_{j=1}^n 
R^2 x_j^{{\prime}2} \, \leq \, R^2} 
dx_1^{\prime} \ldots dx_n^{\prime} =\\
& & = R^n \int_{0 \, \leq \,
\sum_{j=1}^n x_j^{{\prime}2} \, \leq \, 1} 
dx_1^{\prime} \ldots dx_n^{\prime} =
R^n V_n(1) = c_n.
\end{eqnarray*}

\medskip
\noindent
b. Bezie eerst het volume van een schil 
tussen twee bollen 
in de $n$-dimensionale ruimte, 
met stralen $R$ en $R + {\Delta}R$. 
Dit is natuurlijk gelijk aan het verschil 
tussen de volumes van de bollen 
met stralen $R$ en $ + {\Delta}R$,
$$
V_n(R + {\Delta}R) - V_n(R) =
\int_{ \, R^2 \, \leq \, 
\sum_{j=1}^n x_j^2 \, \leq \, 
(R + {\Delta}R)^2} 
dx_1 \ldots dx_n.
$$
Voor ${\Delta}R \rightarrow 0$ 
nadert de rechterkant 
naar $O_n(R) \, {\Delta}R$.
We nemen daarom links en rechts 
de limiet $\lim_{\Delta R \rightarrow 0} 
\frac{1}{\Delta R} \ldots $.

\smallskip
\noindent
Links geeft dit
\begin{eqnarray*}
& & \lim_{\Delta R \rightarrow 0} 
\frac{1}{\Delta R}
 ( V_n(R + \Delta R ) - V_n(R) ) =\\
& & = \frac{d}{dR} V_n(R) =
\frac{d}{dR} \Big( c_n R^n \Big) = 
nc_n R^{n-1}.
\end{eqnarray*}
Rechts geeft dit
$$
\lim_{\Delta R \rightarrow 0} 
\frac{1}{\Delta R} 
\int_{R^2 \, \leq \, 
\sum_{j=1}^n x_j^2 \, \leq \, 
(R + \Delta R )^2} dx_1\ldots dx_n =
O_n(R).
$$
We vinden dus als resultaat
$$
O_n(R) =
\frac{d}{dR} V_n(R) = 
n \, c_n R^{n-1}.
$$

\medskip
\noindent
c. Er geldt
$$
\left( 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{-x^2} dx \right)^2 =
\int_{-\infty}^{+\infty} \! 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{-(x^2 + y^2)}dxdy.
$$
Met poolco\"{o}rdinaten, 
gedefini\"{e}erd door 
$x = r \cos {\phi}$ en 
$y = r \sin {\phi}$, met daarbij
$dxdy = rdr d{\phi}$, 
krijgen we
\begin{eqnarray*}
& & \int_{-\infty}^{+\infty} \! 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{-(x^2 + y^2)}dxdy = 
\int_0^{2 \pi} d{\phi} \int_0^{\infty}
dr \left( r \, e^{-r^2} \right)=\\
& & = 2 \pi \int_0^{\infty} 
e^{-r^2} rdr = 
\pi \int_0^{\infty} e^{-u}du = 
- \pi \left[ e^{-u} 
\right]^{\infty}_0 = \pi.
\end{eqnarray*}
Het resultaat is dus 
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx 
= \sqrt{\pi}.
$$

\medskip
\noindent
d. De integraal wordt
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \! 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{-\sum_{j=1}^n x_j^2 }
dx_1 \ldots dx_n =
\left( 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{-x^2} dx 
\right)^n = {\pi}^{n/2}.
$$

\medskip
\noindent
e. We hebben
\begin{eqnarray*}
& & \int_{-\infty}^{+\infty} \! 
\int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{- \sum_{j=1}^n x_j^2} 
dx_1 \ldots dx_n =\\
& & =\sum_{s = 1 , 2, \ldots} 
\int_{\, R_s^2 \, \leq 
\sum_{j=1}^n x_j^2 \,
\leq \, R_{s+1}^2} 
e^{-\sum_{j=1}^n x_j^2} 
dx_1 \ldots dx_n,
\end{eqnarray*}
voor iedere rij 
$0 = R_1 < R_2 < R_3 < \ldots $.
Door de punten $R_s$ 
steeds dichter bij elkaar te nemen 
krijgt men in benadering de som
$$
\sum_{s=1, 2, \ldots} 
\Delta R_s \, O_n(R_s) \, e^{-R_s^2},
$$
hetgeen als limiet 
een integraal geeft, n.l.
$$
\int_0^{+\infty} O_n(R) \,
e^{-R^2} dR =
n\, c_n \int_0^{\infty} 
e^{-R^2}R^{n-1}dR.
$$

\medskip
\noindent
f. Het resultaat van d is
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \! 
\int_{-\infty}^{+\infty}
e^{-\sum_{j=1}^n x_j^2} 
dx_1 \ldots dx_n = {\pi}^{n/2}.
$$
Het resultaat van e is
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \!
\int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{- \sum_{j=1}^n x_j^2} 
dx_1 \ldots dx_n =
n \, c_n \, 
\int_0^{\infty} e^{-R^2} R^{n-1} dR.
$$
Samen krijgen we
$$
c_n =
\frac{{\pi}^{n/2}}
{n \int_0^{\infty} e^{-R^2} R^{n-1} dR}.
$$
Er geldt, met $t = R^2$, 
dus met $dt = 2RdR$,
$$
n \int_0^{\infty} 
e^{-R^2} R^{n-1} dR =
\frac{n}{2} 
\int_0^{\infty}
e^{-t} t^{\frac{n}{2} -1}dt.
$$
Met
$dt^{\frac{n}{2}} = 
\frac{n}{2} t^{\frac{n}{2} - 1} dt$,
of $t^{\frac{n}{2} -1}dt = 
\frac{2}{3} dt^{\frac{n}{2}}$, 
wordt dit
\begin{eqnarray*}
& & \int_0^{\infty} 
e^{-t}dt^{\frac{n}{2}} =
\left[ 
e^{-t} t^{\frac{n}{2}} 
\right]^{\infty}_0 -
\int_0^{\infty}t^{\frac{n}{2}} 
de^{-t} =\\
& & = \int_0^{\infty} 
e^{-t}t^{\frac{n}{2}}dt =
\int_0^{\infty} e^{-t} 
t^{(\frac{n}{2} + 1) -1}dt = 
\Gamma (\frac{n}{2} + 1).
\end{eqnarray*}
Dit geeft
$$
c_n = 
\frac {{\pi}^{\frac{n}{2}}}
{\Gamma (\frac{n}{2} + 1)},
$$
en dus het uiteindelijke resultaat
$$
V_n(R) = 
\frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}}
{\Gamma (\frac{n}{2} + 1)} R^n.
$$

\bigskip
\bigskip
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-51}}

\bigskip
\noindent
We bezien een klassiek-mechanisch systeem 
van $N$ deeltjes in een vat met eindig volume. 
De Hamiltoniaan $H(\vec{r} , \vec{p} )$ 
heeft de waarde $0$ als minimum; 
de faseruimte geven we aan als $\Gamma$. 
Stel dat $f$ een functie op $\Gamma$ is 
van de vorm $f(H(\vec{r} , \vec{p} ))$.

\bigskip
\noindent
Bewijs dat voor energiewaarden $E_a < E_b$ geldt
$$
\int_{E_a \, \leq \, 
H(\vec{r} , \vec{p} ) \, \leq \,E_b} \,
f(H(\vec{r} , \vec{p} )) \, d{\vec{r}} d{\vec{p}} =
\int_{E_a}^{E_b} f(E) {\Omega}(E) dE,
$$
met daarin $\Omega (E)$ de functie 
die we eerder hebben gedefini\"{e}erd 
als afgeleide naar $E$ van 
$$
\Sigma (E) =
\int_{0 \, \leq \, 
H(\vec{r} , \vec{p} ) \, \leq \, E} \,
d{\vec{r}} d{\vec{p}}.
$$
Merk op dat we hier 
voor de eenvoud de afhankelijkheid 
van het volume $V$ hebben weggelaten.

\newpage
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-51}}

\bigskip
\noindent
We geven twee bewijzen:

\medskip
\noindent
BEWIJS (1)

\medskip
\noindent
Dit bewijs gebruikt het intu\"{\i}tieve 
idee van integreren over 
dunne energieschillen in de faseruimte.

\bigskip
\noindent
Begin met de integraal
$$
\int_{E_a \, \leq \, 
H(\vec{r} , \vec{p} ) \, \leq \,E_b} \,
f(H(\vec{r} , \vec{p} )) \, d{\vec{r}} d{\vec{p}}.
$$
Verdeel, door middel van  tussenpunten $E_j$, 
het interval $[E_a, E_b]$ 
in subintervallen $[E_j , E_{j+1}]$. 
Daarmee kunnen we schrijven
$$
\int_{E_a \, \leq \, 
H(\vec{r} , \vec{p} ) \, \leq \,E_b} \,
f(H(\vec{r} , \vec{p} )) \, d{\vec{r}} d{\vec{p}} =
\sum_j \,
\int_{E_j \, \leq \, 
H(\vec{r} , \vec{p} ) \, \leq \,E_{j+1}} \,
f(H(\vec{r} , \vec{p} )) \, d{\vec{r}} d{\vec{p}}.
$$
We laten het aantal subintervallen toenemen, 
de lengte $({\Delta}E)_j = E_{j +1} - E_j$ 
van ieder interval 
wordt steeds kleiner 
en de bijbehorende integraal 
gaat over een steeds dunnere energieschil.
In de limiet mogen we in die integraal 
de functie $f$ constant nemen, 
dus $f(H({\vec{r}}, {\vec{p}}))$ 
door $f(E_j)$ vervangen. 
We krijgen daarmee
$$
\sum_j \, f(E_j)
\int_{E_j \, \leq \, 
H(\vec{r} , \vec{p} ) \, \leq \,E_{j+1}} \,
f(H(\vec{r} , \vec{p} )) \, d{\vec{r}} d{\vec{p}}.
$$
Verder mogen we ook de integralen zelf vervangen 
door termen ${\Omega}(E_j) ({\Delta}E)_j$. 
Dit geeft
$$
\sum_j \, f(E_j) \,
{\Omega}(E_j) ({\Delta}E)_j,
$$
en dit 
wordt natuurlijk in de limiet de integraal 
$$
\int_{E_a}^{E_b} \, f(E) {\Omega}(E) dE.
$$
hetgeen te bewijzen was.

\bigskip
\noindent
BEWIJS (2)

\medskip
\noindent
Het tweede bewijs is mathematisch 
iets precieser en is een generalisatie 
van de in mijn notitie gegeven redenering 
voor het geval $f(E ) \equiv 1$.
Defini\"{e}er de functie 
$$
{\hat{\Sigma}} (E) = 
\int_{0 \, \leq \, H(\vec{r} , 
\vec{p} ) \, \leq \, E} \, \, \,
f(H(\vec{r} , \vec{p} )) d{\vec{r}} d{\vec{p}}.
$$
De afgeleide naar $E$ van deze functie 
is de limiet voor $\Delta$ naar $0$ van
$$
\frac{1}{\Delta} 
\left(
\int_{0 \, \leq \, H(\vec{r} , \vec{p} ) \, \leq
\, E + \Delta } \, \, \,
f(H(\vec{r} , \vec{p} )) d{\vec{r}} d{\vec{p}} - 
\int_{0 \, \leq \, H(\vec{r} , 
\vec{p} ) \, \leq \, E} \, \, \,
f(H(\vec{r} , \vec{p} )) d{\vec{r}} d{\vec{p}} 
\right)
$$
hetgeen hetzelfde is als 
$$
\lim_{\Delta \rightarrow 0} \, 
\frac{1}{\Delta} 
\, \int_{E \, \leq \, H(\vec{r} , 
\vec{p} ) \, \leq \, E + \Delta} \, \, \,
f(H(\vec{r} , \vec{p} )) d{\vec{r}} d{\vec{p}}
$$
en ook gelijk is aan
$$
f(E) \, 
\lim_{\Delta \rightarrow 0} \,
\frac{1}{\Delta} \,
\int_{E \, \leq \, H(\vec{r} , 
\vec{p} ) \, \leq \, E + \Delta } \, \, \,
d{\vec{r}} d{\vec{p}} = 
f(E) \frac{d{\Sigma}(E)}{dE} =
f(E) {\Omega}(E).
$$
Daarmee kunnen we schrijven
$$
\int_{E_a}^{E_b} f(E) {\Omega}(E) dE =
\int_{E_a}^{E_b} \frac{d}{dE} \left( 
\hat{\Sigma}(E)\right) \, dE = 
$$
\mbox{}
$$
= \hat{\Sigma} (E_a) - \hat{\Sigma} (E_b) =
\int_{E_a \, \leq \, H(\vec{r} , 
\vec{p} ) \, \leq \, E_b} \, \, \, 
f(H(\vec{r} , \vec{p} )) d{\vec{r}} d{\vec{p}},
$$
hetgeen te bewijzen was.

\bigskip
\bigskip
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-03}}

\bigskip
\noindent
(Bewerking van Vraagstuk 3 uit de syllabus 
van Denteneer)

\bigskip
\noindent
Bezie een systeem 
dat zich in $N$ verschillende 
discrete toestanden kan bevinden. 
Stel dat ${\rho}_j$ de kans 
is om de $j^{de}$ toestand te vinden.

\bigskip
\noindent
a. Aan welke condities moeten 
de $N$ getallen ${\rho}_j$ voldoen?

\medskip
\noindent
b. De entropie van het systeem 
is gedefinieerd als
$S :\,  =  -k_B {\sum}_{j = 1}^N 
\, {\rho}_j \ln {\rho}_j$, 
met $k_B$ de constante van Boltzmann. 
Laat zien dat $S$ als functie 
van alle mogelijke kansverdelingen 
$\{ {\rho}_j \}$,
een extremum heeft 
indien alle ${\rho}_j$ 
gelijk zijn aan dezelfde constante.
Wat is de waarde van $S$ in dit extremum?

\medskip
\noindent
c. Stel nu dat er een kansvariable is, 
de energie, 
die voor iedere toestand 
een waarde $E_j$ heeft.
Hoe is de verdeling ${\rho}_j$ die $S$ 
extremaal maakt indien men 
de conditie oplegt 
dat het gemiddelde 
van deze kansvariabele 
gelijk is aan een geven 
vaste waarde $E$? 

\medskip
\noindent
d. Aan welke ensembles 
uit de klassieke statistische fysica 
doen de in b en c 
gevonden kansverdelingen denken?

\medskip
\noindent
Gebruik voor het beantwoorden 
van de vragen b en c de in Appendix B 
van de syllabus beschreven methode 
van de multiplicatoren van Lagrange.

\bigskip
\medskip
\noindent
{\large{HULPMATERIAAL BIJ 99-03:}}

\bigskip
\noindent 
{\Large{LAGRANGE MULTIPLICATOREN}}

\bigskip
\noindent
Met de methode van Lagrange multiplicatoren
kan men extrema 
van functies bepalen, bij gegeven nevenvoorwaarden. 
(Zie ook Appendix B van de syllabus van 
Denteneer).

\bigskip
\noindent
Bezie een functie $F$ van $n$ re\"{e}le variabelen 
$x_1, \ldots , x_n$ 
en probeer de punten $(x_1, \ldots , x_n)$ te vinden 
waar $F(x_1, \ldots , x_n)$ een extremum heeft 
en die bovendien voldoen aan $m$ nevenvoorwaarden
$G_s(x_1, \ldots , x_n) = 0$, 
voor $s = 1, \ldots , m$. 
Een extremum {\em zonder}\, nevencondities 
wordt gevonden door oplossing van de $n$ vergelijkingen
$$
\frac{\partial F}{\partial x_j} = 0. 
$$
In het geval van nevenvoorwaarden 
$G_s(x_1, \ldots , x_n) = 0$, 
$s = 1, \ldots , m$,
bezien we een gemodificeerde functie $\hat{F}$ 
gedefini\"{e}erd als
$$
\hat{F} (x_1, \ldots , x_n) =
F(x_1 , \ldots , x_n) - \sum_{s=1}^m \, 
{\lambda}_s G_s(x_1, \ldots , x_n).
$$
De extrema van $F(x_1, \ldots , x_n)$, 
onder de nevenvoorwaarden 
$G_s(x_1, \ldots , x_n) = 0$, 
voor $s = 1, \ldots , m$,
worden dan gevonden 
door de parti\"{e}le afgeleiden 
van $\hat{F}$ naar $x_j$ nul te stellen.
Dit betekent, voor $j = 1, \ldots , n$,
$$
\frac{\partial \hat{F}}{\partial x_j} =  
\frac{\partial F}{\partial x_j} - 
\sum_{s = 1}^m \, {\lambda}_s 
\frac{\partial G}{\partial x_s} = 0.
$$
De oplossing bevat behalve de gezochte punten 
$(x_1, \ldots , x_n)$ 
ook nog als para-meters de Lagrange multiplicatoren 
${\lambda}_1, \ldots , {\lambda}_m$. 
Deze kan men elimineren 
door te eisen dat de gevonden waarden van 
$x_1, \ldots , x_n$ 
aan de $m$ nevenvoorwaarden voldoen.
Vaak is het echter handig 
om de Lagrange multiplicatoren te laten staan.

\medskip
\noindent
{\em Voorbeeld}\,: Bezie een zeer eenvoudige 
functie in twee variabelen, 
n.l. $F(x_1, x_2) = x_1 + x_2$. 
Zoek naar extrema die op de eenheidscirkel 
in het $(x_1 ,x_2)$-vlak liggen, 
d.w.z. voldoen aan 
de nevenvoorwaarde $x_1^2 + x_2^2 = 1$.
Uit een plaatje is het
direct duidelijk dat $F$ zelf geen extrema heeft; 
de functiewaarden liggen op een hellend plat vlak 
dat het $(x_1, x_2)$-vlak 
snijdt langs de lijn $x_1 = - x_2$.
We zien ook direct dat $F$ {\em op de cirkel}\,  
extrema heeft, voor 
$x_1 = x_2 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2}$.
Volgens de methode van Lagrange berekenen 
we de nulpunten van de parti\"{e}le 
afgeleiden naar $x_1$ en $x_2$ van
$\hat{F} (x_1, x_2) = x_1 + x_2 - 
{\lambda}( x_1^2 + x_2^2 - 1)$.
Dit geeft $1 - 2{\lambda}x_j =0$, voor $j =1,2$,
en dus $x_1 = x_2$. 
Dit in de nevenconditie substitueren geeft inderdaad 
extrema voor $x_1 = x_2 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2}$.
In dit eenvoudige geval kunnen we dit resultaat 
direct uit een plaatje aflezen 
of we kunnen het vinden 
door \'{e}\'{e}n van de variabelen 
met behulp van de nevenvoorwaarde te elimineren.
In een ingewikkelder geval, 
met meer variabelen en 
meer nevencondities, 
kan dit echter erg bewerkelijk worden.
Er moet nog worden opgemerkt dat 
met de methode zover hier 
en in de syllabus besproken 
alleen {\em extrema}\, kunnen worden gevonden,
geen {\em maxima}\, of {\em minima}\,.

\medskip
\bigskip
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-03}}

\bigskip
\noindent
a. De getallen ${\rho}_j$ vormen 
een (discrete) kansverdeling.
Er moet daarom gelden $0 \leq {\rho}_j \leq 1$, 
voor $ j = 1,2, \ldots , N$, 
en verder $\sum_{j=1}^N \, {\rho}_j = 1$.

\bigskip
\noindent
b. Er wordt bij dit onderdeel 
van de opgave gevraagd 
naar een extremum van de functie 
$$
S({\rho}_1, \ldots , {\rho}_N) = 
- k_B \sum_{j=1}^N \, {\rho}_j \ln {\rho}_j,
$$
met inachtneming van een bijvoorwaarde, 
in dit geval 
de normeringsconditie voor de kansverdeling, 
$$
\sum_{j=1}^N \, {\rho}_j = 1.
$$
Bij het volgende onderdeel 
komt er nog een bijvoorwaarde bij, n.l.
$$
\sum_{j=1}^N \, E_j {\rho}_j = E.
$$
In het eerste geval zou men 
het gevraagde extremum nog wel kunnen vinden 
door \'{e}\'{e}n van de variabelen met behulp 
van de bijvoorwaarden te elimineren, 
bijvoorbeeld door de laatste variabele ${\rho}_N$ 
in de overige $N-1$ variabelen uit te drukken als
$$
{\rho}_N = 1 - \sum_{j=1}^{N-1} {\rho}_j.
$$
Bij het tweede geval is dit te bewerkelijk.
We gebruiken daarom in beide gevallen 
de methode van de {\em Lagrange multiplicatoren}\, 
om algemeen extrema van functies 
bij nevenvoorwaarden te vinden.
Deze methode wordt 
beschreven in Appendix B van de syllabus
van Denteneer, 
en is ook in een eerder 
uitgedeelde notitie kort besproken.

\medskip
\noindent
We passen de methode van Lagrange 
nu eerst toe op dit onderdeel b en
bezien daartoe de functie 
$$
S({\rho}_1, \ldots , {\rho}_N) = 
- \sum_{k = 1}^N \, {\rho}_k \ln {\rho}_k.
$$
De bijvoorwaarde is 
$$
G({\rho}_1, \ldots , {\rho}_N) = 
\sum_{k=1}^N \, {\rho}_k = 1.
$$
We gebruiken 
$$
\hat{S} ({\rho}_1 , \dots , {\rho}_N) = 
S({\rho}_1, \ldots , {\rho}_N) - 
{\lambda}G({\rho}_1, \ldots , {\rho}_N) =
$$
\mbox{}
$$
= - \sum_{k =1}^N \, {\rho}_k \ln {\rho}_k - 
{\lambda}
\left(  
\sum_{k = 1}^N \, {\rho}_k - 1 \right).
$$
Dit geeft, voor $j = 1, \ldots , N$, 
$$
\frac{\partial \hat{S}}{\partial {\rho}_j} = 
- \ln {\rho}_j - 1 - {\lambda} = 0,
$$
of 
$$
\ln {\rho}_j = -(1 + {\lambda}),
$$
en dus
$$
{\rho}_j = e^{-({\lambda} + 1)},
$$
De ${\rho}_j$ zijn dus 
voor alle waarden van $j$ gelijk; 
omdat hun som $1$ moet zijn 
hebben we als resultaat 
$$
{\rho}_j = \frac{1}{N},
$$
voor $j = 1, \ldots , N$.
De waarde van $S$ in het gevonden extremum is 
$$
S({\rho}_1, \ldots , {\rho}_N) =
k_B \ln N.
$$
Hoewel we dat met de hier geven methode 
niet kunnen laten zien, 
is dit extremum in feite een {\em maximum}\,. 

\bigskip
\noindent
c. We bezien opnieuw de functie
$$
S({\rho}_1 , \ldots , {\rho}_N) = 
- \sum_{k=1}^N \, {\rho}_k \ln {\rho}_k.
$$
Er zijn nu twee nevenvoorwaarden
$$
G_1({\rho}_1, \ldots , {\rho}_N) = 
\sum_{k=1}^N \, {\rho}_k - 1 = 0
$$
\mbox{}
$$
G_2({\rho}_1, \dots , {\rho}_N) = 
\sum_{k=1}^N \, E_k \, {\rho}_k - E = 0,
$$
waarbij in de tweede conditie $E$ 
een gegeven getal is. 
De kansen ${\rho}_k$ moeten zo zijn 
dat deze $E$ het gemiddelde 
van de getallen $E_1, \ldots , E_n$ is.
We gebruiken 
$$
\hat{S} ({\rho}_1, \dots , {\rho}_N) = 
S({\rho}_1, \ldots , {\rho}_N)
- {\lambda}_1 G_1({\rho}_1, 
\ldots , {\rho}_N)
- {\lambda}_2 G_2({\rho}_1, 
\ldots , {\rho}_N) =
$$
\mbox{}
$$
= - \sum_{k =1}^N \, {\rho}_k \ln {\rho}_k   
- {\lambda}_1 \left(
\sum_{k = 1}^N \, {\rho}_k - 1 \right) 
- {\lambda}_2 \left(
\sum_{k=1}^N \, E_k {\rho}_k - E \right).
$$
Dit geeft, voor $j =1, \ldots , N$,
$$
\frac{\partial \hat{S}}{\partial {\rho}_j} 
= - \ln {\rho}_j - 1 - {\lambda}_1 - 
{\lambda}_2 E_j = 0.
$$
of
$$
\ln {\rho}_j = -({\lambda}_1 +1) 
- {\lambda}_2E_j,
$$
en dus
$$
{\rho}_j = e^{-({\lambda}_1 +1)}\, 
e^{-{\lambda}_2E_j}.
$$
In dit resultaat voor de kansverdeling $\{ {\rho}_j \}$ 
hebben we nog de twee Lagrange parameters 
${\lambda}_1$ en ${\lambda}_2$. 
Het is handig en leerzaam 
om ze in twee nieuwe parameters 
$Z$ en $\beta$ uit drukken, 
n.l. $Z = e^{{\lambda}_1 + 1}$ 
en ${\beta} = {\lambda}_2$.
Door de bijvoorwaarden te gebruiken zien 
we dat de $Z$ en $\beta$ bepaald worden 
door de gegeven getallen $E_1, \ldots , E_N$ 
en het opgelegde gemiddelde $E$, 
door middel van de twee vergelij-kingen 
$$
\sum_{j=1}^N \, e^{- \beta E_j} = Z
$$
\mbox{}
$$
\frac{1}{Z} \sum_{j =1}^N
\,E_j e^{- \beta E_j} = E.
$$
We kunnen ook zeggen 
dat er \'{e}\'{e}n parameter $\beta$ is, 
bepaald door $E_1, \ldots , E_N, E$, 
door de vergelijking
$$
\frac{\sum_{j =1}^N \, E_j e^{- \beta E_j}}
{\sum_{j = 1}^N \, e^{- {\beta} E_j}} = E.
$$
Deze geeft dan een kansverdeling 
$$
{\rho}_j = \frac{1}{Z(\beta )} \, e^{- \beta E_j}
$$
met een normerings factor 
$$
Z(\beta ) = \sum_{j=1}^N \, e^{ - \beta E_j}.
$$  
Opnieuw kan men laten zien 
dat het gevonden extremum een maximum is.

\bigskip
\noindent
d. Deze opgave demonstreert 
in een zeer eenvoudig geval 
belangrijke en kenmerkende eigenschapppen van
het microkanonieke 
en het kanonieke ensemble.

\smallskip
\noindent
Onderdeel b geeft een kansverdeling 
die aan het {\em microkanonieke ensemble}\, doet denken.
Het resultaat van b betekent 
in de context van de statistische fysica: 
{\em de eis van maximale entropie, 
zonder verdere condities, 
leidt wiskundig tot een kansverdeling met gelijke kansen 
voor de mogelijke uitkomsten; 
dit is de essentie van het microkanoniek ensemble}\,.

\smallskip
\noindent
Onderdeel c geeft een kansverdeling 
die aan het {\em kanonieke ensemble}\, 
herinnert.
In de context van de statistische fysica 
betekent het resultaat van c: 
{\em de eis van maximale entropie, 
onder voorwaarde dat een bepaalde kansgrootheid, 
de \mbox{energie}, een gegeven gemiddelde heeft,
leidt wiskundig tot een kansverdeling 
voor de mogelijke uitkomsten 
die evenredig is met 
een {\lq Boltzmann factor\rq} $e^{ -{\beta} E_j}$; 
dit is de essentie van het kanoniek ensemble}\,.

\bigskip
\bigskip
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-52}}

\bigskip
\noindent
Geef de afleiding van de op pagina 28 
van {\lq Grondbegrippen \ldots \rq} 
gegeven uitdrukkingen 
voor het gemiddelde deeltjesaantal 
$\overline{N}$ 
en het kwadraat van de 
standaardafwijking $({\Delta}N)^2$
in het grootkanonieke ensemble.

\medskip
\bigskip
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-52}}

\bigskip
\noindent
Het gemiddelde deeltjesaantal 
$\overline{N}$ is gedefini\"{e}eerd als 
\begin{eqnarray*}
& & {\overline{N}} =
\sum_{N=0}^{\infty}\, N
\int_{{\Gamma}^N} \,
{\rho}_N ({\vec{r}}^N \! , {\vec{p}}^N)
d{\vec{r}}^N \! d{\vec{p}}^N =\\
& & = \frac{1}{{\Xi}({\beta}, V, {\lambda})} \,
\sum_{N=0}^{\infty} \, N
\frac{{\alpha}_1^N}{N!} \,
e^{{\lambda}N}\,
\int_{{\Gamma}_N} e^{- {\beta}
H_N ({\vec{r}}^N \! , {\vec{p}}^N)}
d{\vec{r}}^N \! d{\vec{p}}^N =\\
& & = \frac{1}{{\Xi}({\beta}, V, {\lambda})} \,
\sum_{N=0}^{\infty} \, N
\frac{{\alpha}_1^N}{N!} \,
e^{{\lambda}N}\,
Z_N({\beta}, V)=\\
& & = \frac{1}{{\Xi}({\beta}, V, {\lambda})} \,
\frac{\partial}{\partial \lambda}
\left(
\sum_{N=0}^{\infty} \,
\frac{{\alpha}_1^N}{N!} \,
e^{{\lambda}N}\,
Z_N({\beta}, V)
\right) =\\
& & = \frac{1}{\Xi} \,
\frac{\partial \Xi}{\partial \lambda} =
\frac{\partial}{\partial \lambda} \ln {\Xi}.
\end{eqnarray*}
Voor de afleiding van de uitdrukking 
voor $({\Delta}N)^2 = 
\overline{N^2} - ({\overline{N}})^2$
berekenen we eerst ${\overline{N^2}}$ als
\begin{eqnarray*}
& & {\overline{N^2}} =
\sum_{N=0}^{\infty}\, N^2
\int_{{\Gamma}^N} \,
{\rho}_N ({\vec{r}}^N \! , {\vec{p}}^N)
d{\vec{r}}^N \! d{\vec{p}}^N =\\
& & = \frac{1}{{\Xi}({\beta}, V, {\lambda})} \,
\sum_{N=0}^{\infty} \, N^2
\frac{{\alpha}_1^N}{N!} \,
e^{{\lambda}N}\,
\int_{{\Gamma}_N} e^{- {\beta}
H_N ({\vec{r}}^N \! , {\vec{p}}^N)}
d{\vec{r}}^N \! d{\vec{p}}^N =\\
& & = \frac{1}{{\Xi}({\beta}, V, {\lambda})} \,
\sum_{N=0}^{\infty} \, N^2
\frac{{\alpha}_1^N}{N!} \,
e^{{\lambda}N}\,
Z_N({\beta}, V)=\\
& & = \frac{1}{{\Xi}({\beta}, V, {\lambda})} \,
\frac{{\partial}^2}{{\partial \lambda}^2}
\left(
\sum_{N=0}^{\infty} \,
\frac{{\alpha}_1^N}{N!} \,
e^{{\lambda}N}\,
Z_N({\beta}, V)
\right)
= \frac{1}{\Xi}\,
\frac{{\partial}^2{\Xi}}{{\partial \lambda}^2}.
\end{eqnarray*}
Dit kunnen we schrijven als 
$$
\frac{1}{\Xi} 
\frac{\partial}{\partial \lambda}
\left(
{\Xi} \frac{1}{\Xi} \frac{\partial \Xi}
{\partial \lambda}
\right) =
\left(
\frac{1}{\Xi}
\frac{\partial \Xi}{\partial \lambda} 
\right)^2 +
\frac{\partial}{\partial \lambda}
\left(
\frac{1}{\Xi} \frac{\partial \Xi}
{\partial \lambda} 
\right).
$$
Met 
$$
(\overline{N})^2 =
\left(
\frac{1}{\Xi} \frac{\partial \Xi}
{\partial \lambda}
\right)^2
$$
geeft dit
$$
({\Delta}N)^2 = {\overline{N^2}} - 
\left( 
{\overline{N}}
\right)^2 =
\frac{\partial}{\partial \lambda}
\left(
\frac{1}{\Xi} \frac{\partial \Xi}{\partial \lambda} 
\right) =
\frac{\partial {\overline{N}}}{\partial \lambda}.
$$

\bigskip
\bigskip
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-53}}

\medskip
\bigskip
\noindent
In de formulering van de thermodynamica 
met als basisgrootheden $U$, $V$ 
en bovendien $M$, 
de totale hoeveelheid materie, 
voldoet de entropie $S$ 
volgens de eerste en tweede hoofdwet, 
als functie van deze drie variabelen, 
aan de relatie 
$$
dS = \frac{1}{T}dU + \frac{P}{T} dV - 
\frac{\mu}{T}dM.
$$
Hieruit volgt dat voor $T=T(U,V,M)$ geldt
$$
\frac{1}{T} = 
\left( \frac{\partial S}{\partial U} \right)_{V, M}.
$$
We nemen aan dat $S$ een {\em extensieve}\, 
grootheid is. 
Bewijs dat $T$ {\em intensief}\, is.

\medskip
\bigskip
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-53}}

\bigskip
\noindent
We schrijven de parti\"{e}le afgeleide in de 
thermodynamische relatie
$$
\frac{1}{T} = 
\left( \frac{\partial S}{\partial U} \right)_{V, M}.
$$
expliciet als een limiet, dus als
$$
\frac{1}{T(U,V,M)} =
\lim_{\Delta \rightarrow 0} \,
\frac{1}{\Delta} \left( 
S(U + \Delta , V, M) - S(U, V, M)\right).
$$
Voor een 
re\"{e}el getal ${\lambda} \neq 0$ heeft men dan
$$
\frac{1}{T({\lambda}U,{\lambda}V, {\lambda}M)} =
\lim_{\Delta \rightarrow 0} \,
\frac{1}{\Delta} \left( 
S({\lambda}U + {\Delta} , 
{\lambda}V, {\lambda}M) 
- S({\lambda}U, {\lambda}V, 
{\lambda}M)\right) =
$$
\mbox{}
$$
= \lim_{\Delta \rightarrow 0} \,
\frac{1}{\Delta} \left( 
S({\lambda}(U + {\Delta}/{\lambda}) ,
{\lambda}V, {\lambda}M) - 
S({\lambda}U, {\lambda}V, 
{\lambda}M)\right).
$$
De entropie $S$ is een extensieve 
grootheid, d.w.z.
$$
S({\lambda}U, {\lambda}V, {\lambda}M) = 
{\lambda}S(U,V,M),
$$
voor alle re\"{e}le ${\lambda} \neq 0$.
We kunnen daarom schrijven
$$
\frac{1}{T({\lambda}U,{\lambda}V, 
{\lambda}M)} =
\lim_{\Delta \rightarrow 0} \,
\frac{\lambda}{\Delta} \left( 
S(U + {\Delta}/{\lambda},V, M) - 
S(U, V, M)\right).
$$
Noem ${\Delta}/{\lambda} = 
{\Delta}^{\prime}$.
Daarmee krijgen we
$$
\frac{1}{T({\lambda}U,{\lambda}V, 
{\lambda}M)} =
\lim_{{\Delta}^{\prime} \rightarrow 0} \,
\frac{1}{{\Delta}^{\prime}} \left( 
S(U + {\Delta}^{\prime},V, M) - 
S(U, V, M)\right) =
$$
\mbox{}
$$ 
= \left( \frac{\partial S}
{\partial U}\right)_{V,M}(U,V,M) = 
\frac{1}{T(U,V,M)}.
$$
Hieruit volgt 
$$
T({\lambda}U, {\lambda}V, {\lambda}M) = 
T(U,V,M),
$$
voor alle re\"{e}le ${\lambda} \neq 0$, 
hetgeen wil zeggen dat $T$ 
een intensieve grootheid is.
Dit moest worden bewezen.

\bigskip
\bigskip
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-54}}

\bigskip
\noindent
(Bewerking van Opgave 6 uit de syllabus)

\bigskip
\noindent
a. We bezien een systeem ${\mathcal{S}}$
bestaande uit een vaste hoeveelheid gas 
in een container met variabel volume $V$.
Het wordt omhuld 
door een zeer veel groter systeem 
${\mathcal{S}}^{\prime}$
waarmee het in evenwicht is.
De wand tussen de twee systemen 
laat warmte-uitwisseling toe en 
is bovendien zodanig 
dat het volume $V$ van de container variabel is. 
(Denk aan een gewichtsloze 
en wrijvingsloze zuiger in een cylinder 
tussen het kleine en het grote systeem.)
Daardoor legt ${\mathcal{S}}^{\prime}$ 
zijn eigen constante temperatuur $T$ 
{\em en}\, druk $P$ aan ${\mathcal{S}}$ op.
Men gebruikt voor een dergelijk systeem 
${\mathcal{S}}$ de formulering 
van de thermodynamica 
waarin $P$ en $T$ de basisgrootheden zijn, 
en waarin men verder als centrale grootheid de 
{\em Gibbs vrije energie}\, $G$ heeft, 
gedefini\"{e}erd als 
$$
G = U - TS + PV.
$$
De combinatie van eerste en tweede hoofdwet 
geeft een uitdrukking 
voor de differentiaal $dG$ 
in termen van de differentialen 
$dP$ en $dT$.

\bigskip
\noindent
Leidt deze uitdrukking af. 
Wat zijn in deze opzet van de thermodynamica 
de afgeleide grootheden? 
Geef de vergelijkingen die deze grootheden 
uitdrukken in $P$ en $T$.

\medskip
\bigskip
\noindent
b. Microscopisch-statistische wordt deze situatie 
beschreven door het {\em isotherme-isobare}\, ensemble.
Dit is een ensemble met twee parameters, 
de al bekende parameter
${\beta}$ en een nieuwe 
parameter die we hier even $\theta$ noemen.
De normering van dit ensemble als kansverdeling 
leidt tot de {\em isotherme-isobare toestandsintegraal}\, 
$$
{\Delta}(\theta, \beta ) = 
\int_0^{\infty} e^{-{\theta}V}\, Z(\beta , V) dV,
$$
met daarin $Z({\beta}, V)$ de kanonieke partitiefunctie.

\bigskip
\noindent
Wat is de dimensie van $\theta$ en 
${\Delta}(\theta , \beta )$? 
Probeer uit bovenstaande gegevens de kansverdeling 
te reconstrueren die bij dit ensemble hoort. 
(Aanwijzing: denk aan het groot-kanonieke ensemble, 
in het bijzonder aan het feit dat we 
dat niet kunnen beschrijven 
met een kansdichtheid op \'{e}\'{e}n faseruimte.)
Leidt hiermee een uitdrukking 
voor het gemiddelde $\overline{V}$ af.

\medskip
\bigskip
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-54}}

\bigskip
\noindent
a. De eerste hoofdwet luidt 
$dU = dQ - PdV$ en de tweede $dQ = TdS$.
Samen geeft dit
$$
dU = TdS - PdV.
$$
Uit de definitie van $G$ volgt
$$
dG = dU - TdS - SdT + PdV + VdP.
$$
Deze twee combineren leidt 
tot de gevraagde uitdrukking 
van $dG$ in $dP$ en $dT$, 
n.l.
$$
dG = VdP - SdT.
$$
Door het invoeren van $G$ kan men 
$U$ als basisgrootheid elimineren. 
De twee basisgrootheden worden 
dan $P$ en $T$.
De uitdrukking voor $dG$ zegt ons 
dat nu $V$ en $S$ de afgeleide grootheden zijn, 
en met daarbij de thermodynamische relaties 
$$
V = \left( \frac{\partial G}{\partial P} \right)_T
$$
\mbox{}
$$
S = - \left( \frac{\partial G}{\partial T} \right)_P,
$$
die deze grootheden in $P$ en $T$ uitdrukken.

\bigskip
\medskip
\noindent
b. Omdat de factor $e^{- \theta V}$ dimensieloos is, 
moet de dimensie van $\theta$ gelijk zijn 
aan $[\mbox{lengte}]^{-3}$. 
De dimensie van $Z(\beta , V)$ 
is $[\mbox{actie}]^{3N}$, 
zoals direct volgt 
uit de in 4.1 gegeven definitie 
$$
Z(\beta , V) = \int_{\Gamma} \, 
e^{- \beta H(\vec{r} , \vec{p} )} \, 
d{\vec{r}} d{\vec{p}}.
$$
De extra integratie over $V$ 
in de definitie van ${\Delta}(\theta , \beta )$ 
geeft dan dat de dimensie van 
${\Delta}(\beta , P)$ gelijk is aan
$[\mbox{actie}]^{3N}[\mbox{lengte}]^3$ is.

\bigskip
\noindent
Het is duidelijk dat het volume $V$ in deze situatie 
een {\em kansgrootheid}\, is. 
We moeten dus bij het middelen 
met behulp van dit ensemble 
middelen over verschillende waarden van $V$. 
Omdat de faseruimte ${\Gamma}$ 
o.a. van het volume $V$ afhangt, 
betekent dit dat we, 
net als bij het groot-kanoniek ensemble, 
niet genoeg hebben aan \'{e}\'{e}n faseruimte,
en dat we een {\em verzameling}\, 
faseruimten moeten gebruiken, 
\'{e}\'{e}n faseruimte ${\Gamma}_V$ 
voor iedere continue waarde van $V$.
(Bij het grootkanonieke ensemble gebruiken we 
een {\em rij}\, faseruimten ${\Gamma}_N$, 
omdat $N$ in tegenstelling tot $V$ 
een discrete variabele is.) 
De kansverdeling van het groot-kanonieke ensemble 
wordt beschreven door een rij kansdichtheden 
${\rho}_N$, hier ligt het voor de hand \'{e}\'{e}n 
kansdichtheidsfunctie te gebruiken 
die behalve van $\vec{r}$ en $\vec{p}$ 
ook van de continue variabele $V$ afhangt, 
dus een functie ${\rho}(V, \vec{r} , \vec{p} )$.
De normering van deze kansdichtheid heeft de vorm
$$
\int_0^{\infty}\! \int_{{\Gamma}_V} 
\, {\rho}(V, \vec{r} , \vec{p} ) \,
dVd{\vec{r}} d{\vec{p}} = 1.
$$
We vergelijken dit met de uitdrukking 
voor ${\Delta}(\theta , \beta )$ 
die immers met deze normering te maken heeft,
$$
{\Delta}(\theta , \beta ) = \int_0^{\infty} 
e^{- {\theta}V} Z(\beta , V) dV =
\int_0^{\infty} \! {\int}_{{\Gamma}_V}
e^{- \beta H_V(\vec{r} , \vec{p} ) - \theta V} \, 
dV d{\vec{r}}d{\vec{p}}.
$$
Dit schrijven we als
$$
\int_0^{\infty} \! \int_{{\Gamma}_V}
\frac{1}{{\Delta}(\theta , \beta )} \, 
e^{- \beta H_V(\vec{r} , \vec{p} ) - \theta V} \, 
dV d{\vec{r}}d{\vec{p}} =1.
$$
Dit suggereert onmiddelijk dat 
de kansdichtheid die we zoeken gelijk is aan
$$
{\rho}(V, \vec{r} , \vec{p} ) =
\frac{1}{{\Delta}(\theta , \beta )}
\, e^{- \beta H(\vec{r} , \vec{p} ) - \theta V}.
$$ 

\bigskip
\noindent
Het gemiddelde $\overline{V}$ is gedefini\"{e}erd als
$$
\overline{V} =  
\int_0^{\infty} \! \int_{{\Gamma}_V} \, 
V \, {\rho}(V, \vec{r} , \vec{p} ) \, 
dV d{\vec{r}}d{\vec{p}} = 
$$
\mbox{}
$$
= \int_0^{\infty} \,  
\frac{V}{{\Delta}(\theta , \beta )} \, 
e^{- \theta V } \left[ 
\int_{{\Gamma}_V} 
e^{- \beta H_V(\vec{r} , \vec{p} )} 
d{\vec{r}}d{\vec{p}} \right] dV =
$$ 
\mbox{}
$$
= \frac{1}{\Delta (\theta , \beta )}
\int_0^{\infty} \, 
V \, e^{- \theta V} Z(\beta , V) \, dV.
$$
Dit kunnen we met behulp van 
de afgeleide naar $\theta$ schrijven als
$$
- \frac{1}{\Delta (\theta , \beta)} \,
\frac{\partial}{\partial \theta}
\int_0^{\infty} \, e^{ - \theta V }Z(\beta , V) \, dV =
- \frac{1}{\Delta (\theta , \beta)} \, 
\frac{\partial}{\partial \theta}
\Delta (\theta , \beta ).
$$
Het gevraagde gemiddelde is dus
$$
\overline{V} = 
- \frac{1}{\Delta} \frac{\partial}{\partial \theta} 
{\Delta} = 
- \frac{\partial}{\partial \theta} \ln \Delta.
$$
In het geval van het groot-kanoniek ensemble 
hadden we in de uitdrukking voor $d{\Phi}$ 
de term $- M d{\mu}$ 
en in de kansverdeling 
een factor $e^{-{\lambda}N} 
= e^{-{\lambda}M/m}$. 
Dat leidde tot de relatie 
$-{\lambda}/m = {\beta}{\mu}$. 
Hier staat in de uitdrukking voor $dG$ 
de term $VdP$ 
en in de kansverdeling 
een factor $e^{-{\theta}V}$. 
Dit suggereert de relatie $\theta = \beta P$.
Dit klopt ook wat betreft dimensies.

\bigskip
\bigskip
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-55}}

\bigskip
\noindent
(Bewerking van Opgave 7 
uit de syllabus van Denteneer)

\bigskip
\noindent
Gegeven een verzameling atomen 
met massa $m$ op een rechte lijn 
op posities $x_1, \ldots , x_N$, 
die zich kunnen bewegen binnen 
een interval $[0, L]$. 
Ze kunnen elkaar niet passeren, 
d.w.z. er moet steeds gelden 
$0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_N < L$. 
De Hamiltoniaan van het systeem is 
$$
H_L(x_1, \ldots , x_N, p_1, \ldots , p_N) 
= \sum_{j=1}^N \frac{p_j^2}{2m} + 
V(x_1, \ldots , x_N),
$$
met de potentiaal $V$ gegeven als 
$$
V(x_1, \ldots , x_N) = 
u(x_1) + 
\sum_{j=1}^{N-1} u(x_{j+1} - x_j) +
u(L - x_N).
$$
Daarbij is $u$ een potentiaal, 
die de wisselwerking beschrijft 
tussen twee naburige deeltjes  
en bovendien tussen het eerste deeltje,
respectievelijk het laatste deeltje, 
en de {\lq wand\rq} aan de linkerkant, 
respectievelijk de rechterkant.
We veronderstellen dat $u(x)$ snel naar $0$
gaat voor $x \rightarrow +\infty$.
We denken het {\lq volume\rq} 
van het systeem, 
dus de plaats $L$ van het rechtereindpunt, 
tot stand gekomen als gevolg 
van de wisselwerking 
van het systeem van deeltjes 
met de {\lq wanden\rq}, 
d.w.z. de randen 
van het interval $[0, L]$.

\smallskip
\noindent
In de statistisch-mechanische beschrijving 
van deze situatie kunnen we daarom 
de plaats $L$ van het rechtereindpunt
ook als een {\em kansvariable}\, beschouwen, 
op een analoge manier 
als het deeltjesaantal $N$ 
bij een systeem met doorlaatbare wanden. 
Dit leidt tot het gebruik van het 
in Opgave 99-54 ingevoerde 
{\em isotherme-isochore ensemble}\, -- 
met natuurlijk $L$ inplaats van $V$ -- 
en met dezelfde interpretatie 
van de parameter $\theta$.

\bigskip
\noindent
a. De in Opgave 99-54 gedefini\"{e}erde 
isotherme-isochore 
partitiefunctie $\Delta ({\theta}, {\beta})$ 
heeft voor dit model de vorm 
$$
{\Delta}({\theta}, {\beta}) = 
\left(
\frac{2 \pi m}{\beta} \right)^{\frac{N}{2}}
[{\xi}({\theta}, {\beta})]^{N+1}.
$$
Laat dit zien en leid daarbij 
de uitdrukking voor de functie 
${\xi}({\theta}, {\beta})$ af.\\
(Aanwijzing: ga in de integraal 
voor ${\Delta}({\theta}, {\beta})$
van de variabelen
$x_1, \ldots , x_N, L$ over 
naar  
\mbox{$x_1, x_2-x_1, \ldots , 
x_N - x_{N-1}$} en $L- \sum_{j=1}^Ny_j$.)

\bigskip
\noindent
b. Gebruik de thermodynamische formules 
van Opgave 99-54, met $G = G(P, T)$ 
als centrale functie, 
met de identificatie ${\theta} = {\beta}P$ 
en natuurlijk ${\beta} = (k_BT)^{-1}$, 
met daarbij verder nog de relatie 
$G = -k_BT \ln ({\alpha}{\Delta})$, 
om het {\lq volume\rq} $L$ 
uit te drukken in $P$ en $T$. 
(${\alpha}$ is weer een onbepaalde constante, 
met dimensie $[$actie$]^{-N}[$lengte$]^{-1}$.)
Wat is de relatie 
van deze thermodynamische grootheid $L$ 
met de in de formules voor 
het ensemble voorkomende variabele $L$?

\bigskip
\noindent
c. Stel dat het systeem {\em ideaal}\, 
is, d.w.z. met $u \equiv 0$. 
Bereken voor deze situatie 
de partitiefunctie 
${\Delta}({\theta}, {\beta})$ 
en vervolgens $L = L(P, T)$.

\bigskip
\noindent
d. Doe het zelfde 
voor een {\lq harde bollen potentiaal\rq}, 
gegeven door 
$u(y) = +\infty$ voor $0 < y < a$, 
en $u(y) = 0$ voor $y > a$.

\medskip
\bigskip
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-55}}

\bigskip
\noindent
a. De uitdrukking voor 
${\Delta}({\theta}, {\beta})$ 
kunnen we schrijven als de 
$(2N+1)$-voudige integraal
$$
\Delta({\theta},{\beta}) = 
\int_0^{\infty} dL \, e^{-{\theta}L}
\left[ 
\int_{{\Gamma}_L} 
dx_1 \ldots dx_N dp_1 \ldots dp_N \,
e^{-{\beta}H_L(x_1, \ldots , 
x_N, p_1, \ldots , p_N)}
\right].
$$
Met integratie over 
de variabelen $p_1, \ldots p_N$ 
wordt dit
$$
\left( \frac{2 {\pi}m}{\beta} 
\right)^{\frac{N}{2}}
\int_0^{\infty} dL \, e^{-{\theta}L}
\left[ 
\int_{0 < x_1 < \ldots < x_N < L} 
\, dx_1 \ldots dx_N \, 
e^{-{\beta}V(x_1, \ldots , x_N)} 
\right].
$$
Voer nu in de nieuwe 
integratievariabelen
$y_1 = x_1$ en $y_j = x_j - x_{j-1}$,
voor $j =2, \ldots , N$, 
met de inverse transformatieformules 
$x_j = \sum_{k=1}^j y_k$.
Merk op dat het integratiegebied 
voor deze $N$ variabelen bepaald wordt 
door de conditie 
$0 < y_1 + \ldots + y_N < L$, 
met $y_j > 0$, voor alle $j$.
De uitdrukking voor $Z({\beta}, L)$ 
wordt daarmee
\begin{eqnarray*}
& & {\Delta}({\theta}, {\beta}) =
\left( \frac{2 {\pi}m}{\beta} 
\right)^{\frac{N}{2}} 
\int_0^{\infty} dL \, e^{-{\theta}L}\\
& & \left[
\int_{y_j >0 \, ; \, 0 < y_1 + \ldots + y_N < L}
dy_1 \ldots dy_N \,
e^{-{\beta}(\sum_{j=1}^N u(y_j) +
 u(L - \sum_{j=1}^Ny_j)}
\right].
\end{eqnarray*}
Ga nu van de variabelen 
$y_1, \ldots , y_N$ en $L$ 
over op $y_1, \ldots , y_{N+1}$, 
met $y_{N+1} = L - \sum_{j=1}^N y_j$. 
Merk daarbij op dat we dan 
een integraal krijgen, 
over het $(N+1)$-dimensionale gebied 
bepaald door de condities $y_j > 0$, 
voor $j = 1, \ldots , N+1$, 
zonder verdere restricties. 
We vinden, na enige herschikking, 
$$
{\Delta}({\theta}, {\beta}) =
\left(
\frac{2 \pi m}{\beta} 
\right)^{\frac{N}{2}}
\int_0^{\infty} \ldots \int_0^{\infty} 
dy_1 \ldots dy_{N+1} \,
e^{- \sum_{j=1}^{N+1} 
({\theta}y_j + {\beta}u(y_j))}.
$$
Deze integraal kan worden gefactoriseerd tot
$$
\left(
\frac{2 \pi m}{\beta} 
\right)^{\frac{N}{2}}
\left[ 
\int_0^{\infty} dy \, 
e^{-({\theta}y + {\beta}u(y))}
\right]^{N+1} =
\left(
\frac{2 \pi m}{\beta} 
\right)^{\frac{N}{2}}
[ {\xi}({\theta}, {\beta})]^{N+1},
$$ 
met
$$
{\xi}({\theta}, {\beta}) = 
\int_0^{\infty} dy \,
e^{-({\theta}y + {\beta}u(y))}.
$$

\bigskip
\noindent
{\em Opmerking}\,: 
We kunnen bovenstaande afleiding 
ook beschrijven met behulp 
van een Dirac delta-functie. 
Schrijf de integraal 
$$
\int_0^{\infty} dL \, 
e^{-{\theta}L} 
\left[
\int_{y_j > 0\, ; \, y_1 + \ldots + y_N < L} 
dy_1 \ldots dy_N \, 
e^{-{\beta}(\sum_{j=1}^N u(y_j) +
u(L- \sum_{j=1}^N y_j)}
\right]
$$
als een integraal met
een extra variabele en een $\delta$-functie
\begin{eqnarray*}
& & \int_0^{\infty} dL \,
e^{-{\theta}L} \left[
\int_{y_j > 0}
dy_1 \ldots dy_{N+1} \,
{\delta}( 
L - {\sum}_{j=1}^{N+1}y_j) 
\, e^{-{\beta}\sum_{j=1}^{N+1} u(y_j)}
\right]=\\
& & =  \int_0^{\infty} 
\ldots \int_0^{\infty} 
dL \, dy_1 \ldots dy_{N+1} \,
{\delta}( 
L - {\sum}_{j=1}^{N+1}y_j) 
\, e^{-\sum_{j=1}^{N+1} ({\theta} y_j +
{\beta}u(y_j))}=\\
& & =  \int_0^{\infty} 
\ldots \int_0^{\infty} 
dy_1 \ldots dy_{N+1} \,
\, e^{-\sum_{j=1}^{N+1} ({\theta} y_j +
{\beta}u(y_j))},
\end{eqnarray*} 
etc.

\bigskip
\noindent
b. De Gibbs vrije energie 
wordt verkregen uit de partitiefunctie 
met de formule 
$G = - k_BT \ln ({\alpha}{\Delta})$ en 
geeft vervolgens 
door parti\"{e}le differentiatie 
het {\lq volume\rq} $L$, 
als 
$$
L = \left( \frac{\partial G}{\partial P} 
\right)_T
 = - k_B T \left(
\frac{\partial \ln ({\alpha}{\Delta}) }{\partial P} 
\right)_T =
- \frac{k_B T}{\Delta} 
\left(
\frac{\partial \Delta}{\partial P} 
\right)_T.
$$
Met ${\Delta} =
(2 \pi m /{\beta})^{N/2} 
{\xi}^{N + 1}$ wordt dit
$$
L = - K_BT (N+1)\frac{1}{\xi} 
\left( \frac{\partial \xi}{\partial P}
\right)_T.
$$
Daarin is $\xi$, met
de identificaties ${\theta} = {\beta}P$ 
en ${\beta} = (k_BT)^{-1}$, gelijk aan
$$
\xi = \int_0^{\infty} dy 
\, e^{-(Py + u(y))/k_BT}.
$$
Deze {\em thermodynamische grootheid}\, $L$ 
moeten we identificeren 
met het {\em ensemble gemiddelde}\, 
$\overline{L}$ 
van de {\em kansgrootheid}\, $L$ 
horende bij het {\em microscopische niveau}\,.

\bigskip
\noindent
c. Voor $u \equiv 0$ vinden we direct 
$$
\xi = \int_0^{\infty}
e^{-Py/k_BT}dy = 
\frac{k_BT}{P} \int_0^{\infty} e^{-t}dt 
= \frac{k_BT}{P}
$$
en dus
$$
{\Delta} = (2 \pi m k_BT)^{\frac{N}{2}}
\left( 
\frac{k_BT}{P} \right)^{N+1}.
$$
Daarmee door te differenti\"{e}ren
$$
L = - k_BTP 
\left( \frac{\partial}{\partial P} P^{-1} 
\right)_T = (N+1) \frac{k_BT}{P}.
$$
Voor grote $N$, 
dus met $N + 1 \simeq N$, 
mag deze relatie benaderd worden 
door $L = k_BTN/P$, of 
$$
PL = Nk_BT,
$$ 
de ideale gaswet 
voor dit $1$-dimensionale systeem.

\bigskip
\noindent
d. We berekenen $\xi ( \theta , \beta )$ 
als
$$
{\xi}({\theta}, {\beta}) =
\int_a^{\infty} e^{-{\theta}y} dy =
\frac{1}{\theta} e^{-{\theta}a} =
\frac{k_BT}{P} e^{-\frac{aP}{k_BT}}.
$$
Hiermee
\begin{eqnarray*}
& & L = -k_BT (N+1) \frac{1}{\xi}
\left( \frac{\partial \xi}{\partial P} 
\right)_T =
-k_BT  (N+1)\, P\, e^{\frac{aP}{k_BT}} 
\frac{\partial}{\partial P} 
\left( \frac{e^{-\frac{aP}{k_BT}}}{P} 
\right)_T = \\
& & = k_BT (N+1) \left(
P^{-1} + \frac{a}{k_BT} \right).
\end{eqnarray*}
Deze relatie kan worden geschreven als 
$$
PL = k_BT (N+1) \left(
1 + \frac{aP}{k_BT} \right),
$$
of voor grote $N$, met $N+1 \simeq N$,
$$
PL = k_BTN \left(1 + 
\frac{aP}{k_BT} \right),
$$
een in eerste orde in $a$ 
van de {\lq ideale gaswet\rq} 
afwijkende toestandsvergelijking.

\bigskip
\bigskip
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-56}}

\bigskip
\noindent
Bezie een gas in een container met volume $V$, 
beschouwd als een klassiek systeem 
van $N$ puntdeeltjes met massa $m$. 
We veronderstellen dat de deeltjes 
bewegen in een potentiaal 
die alleen van de posities 
en niet van de snelheden van de deeltjes afhangt.
We gebruiken het kanonieke ensemble
bij absolute temperatuur 
$T = ({\beta}k_B)^{-1}$ 
voor de statistisch-mechanische 
beschrijving van dit systeem. 

\bigskip
\noindent
a. Bereken de kansdichtheid 
voor de kinetische energie 
van \'{e}\'{e}n deeltje. 
Bereken het daarbij horende 
gemiddelde en de standaarddeviatie.

\bigskip
\noindent
b. Geef een de 
gemeenschappelijke kansdichtheid  
voor $v_s$ en $v_t^{\prime}$, 
de $s^{de}$, respectievelijk $t^{de}$ component 
van de snelheid van twee verschillende deeltjes. 
Zijn $v_s$ en $v_t^{\prime}$ 
afhankelijk of onafhankelijk 
als kansgrootheden? 
Geef bij het antwoord op deze vraag 
een korte motivering.
 
\medskip
\noindent
(Gebruik bij deze opgave zonodig 
de in 4.4 en 4.5 
van {\lq Grondbegrippen \ldots \rq} 
afgeleide resultaten.)

\medskip
\bigskip
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-56}}

\bigskip
\noindent
a. Het gemiddelde van de kinetische energie 
$E_1 = 
\frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$ 
van \'{e}\'{e}n deeltje 
is gegeven door de formule
$$
\langle E_1 \rangle = 
\int_{R^3} \frac{1}{2} 
m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) 
f(v_x, v_y , v_z) \, dv_x dv_y dv_z,
$$
met 
$$
f(v_x, v_y, v_z) =
\left(
\frac{m}{2 \pi k_BT}
\right)^{\frac{3}{2}} 
\,
e^{-m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)/2k_BT},
$$ 
de in Sectie 4.5 van 
{\lq Grondbegrippen \ldots \rq},  
afgeleide formule voor de gemeenschappelijke 
kansdichtheid voor de drie componenten 
van de snelheid van een deeltje.
We gaan over 
op bolco\"{o}ordinaten $v$, 
${\phi}$ en $\theta$ volgens de formules
\begin{eqnarray*}
& & v_x = v \sin{\phi} \sin{\theta}\\
& & v_y = v \cos{\phi} \sin{\theta}\\
& & v_z = v \cos{\theta}.
\end{eqnarray*}
Dit geeft, met 
$dv_xdv_ydv_z = 
v^2 \sin{\theta} \, dvd{\phi}d{\theta}$,
$$
\langle E_1 \rangle =
4{\pi} \, \left( \frac{m}{2 \pi k_BT} 
\right)^{\frac{3}{2}} 
\int_0^{\infty} \frac{1}{2} mv^2 \, 
e^{-\frac{1}{2}mv^2/k_BT} v^2dv.
$$
Met 
$$
E_1 = \frac{1}{2}mv^2, 
\, \, \, \, \, 
v = \sqrt{\frac{2E_1}{m}},
\, \, \, \, \, 
dv = \frac{1}{m} \left(
\frac{m}{2E_1} \right)^{\frac{1}{2}}
dE_1,
$$
wordt dit, 
na enige herschikking,
$$
\langle E_1 \rangle =
\int_0^{\infty} E_1\,  g(E_1) dE_1 , 
$$ 
met daarin
$$
g(E_1) =
\frac{2}{\sqrt{\pi}} 
\frac{1}{(k_BT)^{3/2}}
\, E_1^{1/2} e^{-E_1/K_BT},
$$
de gevraagde kansdichtheid voor $E_1$.
We kunnen de waarde van $\overline{E_1}$ 
verkrijgen door de bovenstaande integraal 
te berekenen, 
evenals de waarde van $({\Delta}E_1)^2$
door berekening van een soortgelijke integraal, 
met $(E_1 - \overline{E_1})^2$
in plaats van $E_1$ in de integrand. 

\smallskip
\noindent
We hebben gezien dat 
de berekeningen voor de gemiddelde 
kinetische energie in het kanoniek ensemble, 
zoals we die hierboven hebben uitgevoerd, 
{\em niet}\, afhangen 
van de gebruikte potentiaal 
$V({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N)$ af. 
We kunnen daarom 
deze potentiaal gelijk aan $0$ nemen. 
We hebben daarmee de situatie van het ideale gas, 
waarin de kinetische energie gelijk is 
aan de totale energie. 
Een ideaal systeem van $N$ 
in het kanoniek ensemble bestaat 
uit $N$ onafhankelijke $1$-deeltjes systemen. 
De gezochte $\overline{E_1}$ en ${\Delta}E_1$ 
zijn dus de gemiddelde waarde 
en de standaarddeviatie 
van de {\em totale}\, energie 
van een $1$-deeltjes systeem 
in het kanoniek ensemble. 
Deze waarden zijn berekend 
in {\lq Grondbegrippen \ldots \rq}, 
Sectie 4.4.
We krijgen daarmee 
voor de kinetische energie
$E_1$ van \'{e}\'{e}n deeltje 
in een algemeen niet-ideaal systeem
$$
\langle E_1 \rangle =
\frac{3}{2} k_BT, 
\, \, \, \, \, \, 
{\Delta}E_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}\,  k_BT.
$$

\bigskip
\noindent
b. We berekenen de covariantie 
$\langle v_s \, 
v_t^{\prime} \rangle$ 
van de $s^{de}$ component 
van de snelheid van een deeltje
 met de $t^{de}$ component 
van de snelheid van een ander deeltje 
als het gemiddelde 
van de covarianties 
$\langle ({\vec{v}}_{i_1})_s \, 
({\vec{v}}_{i_2})_t \rangle$,
voor alle verschillende paren deeltjes 
$i_1$ en $i_2$.
Dit geeft
\begin{eqnarray*}
& & \langle v_s 
v_t^{\prime}\rangle = 
\frac{2}{N(N-1)} \sum_{i_1 < i_2} 
\langle ({\vec{v}}_{i_1})_s 
({\vec{v}}_{i_2})_t \rangle =\\
& & = \frac{2}{N(N-1)} 
\sum_{i_1 < i_2}\\ 
& & \int_{\Gamma} 
({\vec{v}}_{i_1})_s 
({\vec{v}}_{i_2})_t
{\rho}({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N, 
{\vec{p}}_1 , \ldots , {\vec{p}}_N) \, 
d{\vec{r}}_1 \ldots {\vec{r}}_N 
d{\vec{p}}_1 \ldots d{\vec{p}}_N,
\end{eqnarray*}
met 
$$
{\rho}({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N, 
{\vec{p}}_1, \ldots , {\vec{p}}_N) =
\frac{1}{Z({\beta}, V)} \,
 e^{-{\beta}(\sum_{j=1}^N 
{\vec{p}}_j^2/2m \, + \,
V({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N)}
$$ 
de kansdichtheid van het kanonieke ensemble. 
Deze is symmetrisch in de variabelen 
${\vec{p}}_1, \ldots , {\vec{p}}_N$.
Alle covarianties $\langle ({\vec{v}}_{i_1})_s 
({\vec{v}}_{i_2})_t \rangle$, voor $i_1 < i_2$,
zijn daarom gelijk, en we mogen dus voor
$\langle v_s 
v_t^{\prime}\rangle$ 
een willekeurige 
 $\langle ({\vec{v}}_{i_1})_s 
({\vec{v}}_{i_2})_t \rangle$ nemen, 
\mbox{bijvoorbeeld}
 $\langle ({\vec{v}}_1)_s 
({\vec{v}}_2)_t \rangle$.
We krijgen op die manier
\begin{eqnarray*}
& & \langle v_s 
v_t^{\prime}\rangle =\\
& & = \frac{1}{Z({\beta}, V)} \,
\int_{\Gamma} 
({\vec{v}}_1)_s \,
({\vec{v}}_2)_t 
e^{-{\beta}(\sum_{j=1}^N 
{\vec{p}}_j^2/2m \, + \,
V({\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N)}
d{\vec{r}}_1 \ldots {\vec{r}}_N 
d{\vec{p}}_1 \ldots d{\vec{p}}_N.
\end{eqnarray*}
We kunnen zowel in de integraal 
als in de uitdrukking voor $Z({\beta}, V)$ 
integreren over de variabelen 
${\vec{r}}_1, \ldots , {\vec{r}}_N$. 
Dit geeft dezelfde factor $Q_N({\beta}, V)$ 
die daarom kan worden weggelaten. 
Verder kan direct over 
alle ${\vec{p}}_j$
behalve de componenten 
$({\vec{p}}_1)_s$ en 
$({\vec{p}}_2)_t$ worden integreerd, 
waardoor we een uiteindelijke voorfactor 
$(2{\pi}m/{\beta})^{-1}$ krijgen. 
Dit geeft
$$
\langle v_s 
v_t^{\prime}\rangle = 
\left( \frac{2 \pi m}{\beta}
\right)^{-1} 
\int_{R^2}
({\vec{v}}_1)_s ({\vec{v}}_2)_t 
\, e^{-\frac{\beta}{2m} 
(({\vec{p}}_1)_1^2 
+ ({\vec{p}}_2)_2^2)}\,
d({\vec{p}}_1)_s 
d({\vec{p}}_2)_t.
$$
We schrijven weer 
$({\vec{v}}_1)_s = v_s$ 
en $({\vec{v}}_2)_t 
= v_t^{\prime}$.
Ook gaan we over 
op de nieuwe integratievariabelen 
$v_s = ({\vec{p}}_1)_s/m$,
$v_t^{\prime}
= ({\vec{p}}_2)_t/m$
en schrijven ${\beta} = (k_BT)^{-1}$.\\
We krijgen dan tenslotte
$$
\langle v_s
v_t^{\prime}\rangle = 
\int_{R^2} 
v_s \, v_t^{\prime}
f_{st} 
(v_s, v_t^{\prime}) \,
dv_sdv_t^{\prime},
$$
met
$$
f_{st} 
(v_s , v_t^{\prime}) =
\frac{m}{2{\pi}k_BT} \,
e^{-m(v_s^2 + 
v_t^{{\prime}2})/2k_BT},
$$
de gevraagde gemeenschappelijke 
kansdichtheid 
voor de variabelen 
$v_s$ 
en $v_t^{\prime}$.
Deze kan worden geschreven 
als een product
$$
f_{st}(v_s, 
v_t^{\prime}) = 
\left(
\frac{m}{2 \pi k_BT}
\right)^{1/2} 
e^{- mv_s^2} \, \cdot \,
\left(
\frac{m}{2 \pi k_BT}
\right)^{1/2} 
e^{- mv_t^{{\prime}2}},
$$
dus als het product 
van de kansverdelingen 
voor de afzonderlijke snelheden 
$v_s$ 
en $v_t^{\prime}$, 
zoals afgeleid in Sectie 4.5 
van {\lq Grondbegrippen \ldots \rq}. 
Dit betekent dat de $v_s$ 
en $v_t^{\prime}$ 
als kansgrootheden
{\em onafhankelijk}\, zijn. 

\bigskip
\bigskip
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-57}}

\bigskip
\noindent
a. Bezie een quantummechanisch systeem. 
We geven de Hilbert-ruimte 
van dit systeem aan als $\mathcal{H}$,
het inwendig product in $\mathcal{H}$ als 
$( \cdot , \cdot )$, etc..
Neem een vaste toestandsvector ${\phi}_0$, 
dus genormeerd als 
$||{\phi}_0|| = ({\phi}_0, {\phi}_0)^{1/2} = 1$. 
We voeren een operator ${\hat{\rho}}$ in, 
gedefini\"{e}erd door zijn werking 
op een willekeurige vector ${\psi}$,
met behulp van de formule
$$
{\hat{\rho}}{\psi} = 
({\phi}_0, {\psi}){\phi}_0.
$$
Laat zien dat ${\hat{\rho}}$ 
een {\em dichtheidsoperator}\, is, 
d.w.z. een hermitische operator, 
met niet-negatieve 
eigenwaarden waarvan 
de som gelijk is aan $1$.
(Aanwijzing: laat zien dat geldt 
${\hat{\rho}}^2 = 
{\hat{\rho}}$.)

\bigskip
\noindent
b. Een quantum ensemble, 
d.w.z. een dichtheidsoperator ${\hat{\rho}}$, 
geeft voor een 
iedere observabele $\hat{A}$, 
een gemiddelde waarde 
$\langle \hat{A} 
\rangle = $ Tr $(\hat{\rho}{\hat{A}})$. 
Voor de in a gedefini\"{e}erde 
dichtheidsoperator $\hat{\rho}$ 
wordt dit een eenvoudige uitdrukking 
gebaseerd op 
de toestandsvector ${\phi}_0$. 
Leid deze uitdrukking af.

\bigskip
\noindent
c. Maak de in a ingevoerde $\hat{\rho}$ 
tijdsafhankelijk 
door in plaats van de toestandsvector ${\phi}_0$
de oplossing van 
de  Schr\"{o}dinger-vergelijking te nemen, 
die op $t = 0$ gelijk is aan ${\phi}_0$, 
d.w.z. neem de tijdsafhankelijke vector
${\phi}_0(t)$, met ${\phi}_0(0) = {\phi}_0$, 
die voldoet aan de vergelijking
$$
\frac{d}{dt} {\phi}_0(t) = 
- \frac{i}{\hbar} \hat{H} {\phi}_0(t),
$$
met $\hat{H}$ de Hamilton-operator
van het quantumsysteem. 
Waarom is de aldus gedefini\"{e}erde 
$\hat{\rho} (t)$ weer een dichtheidsoperator?
Laat zien dat ${\rho}(t)$ voldoet 
aan de evolutievergelijking
$$
\frac{d}{dt}{\hat{\rho}}(t) =
-\frac{i}{\hbar} \left[ 
\hat{H}, {\hat{\rho}}(t) \right].
$$
Voor welke toestandsvectoren ${\phi}_0$ 
krijgen we een stationnair ensemble?

\bigskip
\noindent
d. Zeg kort iets over de betekenis van 
de verkregen resultaten.

\medskip
\bigskip
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-57}}

\medskip
\bigskip
\noindent
a. Men ziet direct in dat de aldus 
gedefini\"{e}erde toevoeging: 
${\psi} \mapsto {\hat{\rho}}{\psi}$, 
voor iedere ${\psi} \in \mathcal{H}$, 
lineair is, dus ${\hat{\rho}}$ 
is een (lineaire) operator in $\mathcal{H}$.
Er geldt algemeen voor het inwendig product 
$$
({\phi}_1, {\phi}_2) = 
\overline{({\phi}_2, {\phi}_1)}
$$ 
en 
$$
{\lambda}({\phi}_1, {\phi}_2) = 
({\lambda}^*{\phi}_1, {\phi}_2) =
({\phi}_1, {\lambda}{\phi}_2),
$$
voor elk tweetal vectoren ${\phi}_1$ 
en ${\phi}_2$ in $\mathcal{H}$, 
en voor elk complex getal ${\lambda}$.
Dit geeft, voor ieder tweetal vectoren 
${\psi}_1$ en ${\psi}_2$,
\begin{eqnarray*}
& & ({\psi}_1, {\hat{\rho}}{\psi}_2) =\\ 
& & = ({\psi}_1, ({\phi}_0 , {\psi}_2){\phi}_0) =
({\phi}_0 , {\psi}_2) \, ({\psi}_1,{\phi}_0)=\\ 
& & = (\overline{({\psi}_1, 
{\phi}_0)}{\phi}_0, {\psi}_2) =
(({\phi}_0, {\psi}_1){\phi}_0, {\psi}_2) =\\ 
& & = ({\hat{\rho}}{\psi}_1, {\psi}_2),
\end{eqnarray*}
oftewel ${\hat{\rho}}^* = {\hat{\rho}}$, 
dus $\hat{\rho}$ is hermitisch. 
Er geldt verder
$$
{\hat{\rho}}({\hat{\rho}}{\psi}) = 
({\phi}_0, \hat{\rho} {\psi}){\phi}_0 =
({\phi}_0, ({\phi}_0, {\psi}){\phi}_0){\phi}_0 =
({\phi}_0, {\psi})({\phi}_0, {\phi}_0){\phi}_0.
$$
Vanwege de normering van ${\phi}_0$ 
is dit gelijk aan 
$({\phi}_0, {\psi}){\phi}_0 = 
{\hat{\rho}}{\psi}$. 
We hebben dus 
${\hat{\rho}}^2 =\hat{\rho}$. 
Hieruit volgt dat ${\hat{\rho}}$ 
alleen de getallen $0$ en $1$ 
als eigenwaarden kan hebben. 
Er geldt 
$$
{\hat{\rho}}{\phi}_0 
= ({\phi}_0, {\phi}_0){\phi}_0 
= {\phi}_0,
$$
d.w.z. ${\phi}_0$ 
zelf is een eigenvector 
van $\hat{\rho}$ bij eigenwaarde $1$.
De operator ${\hat{\rho}}$ voert 
een willekeurige vector in ${\mathcal{H}}$ 
over in $0$ 
of in een scalair veelvoud van ${\phi}_0$, 
dus ${\phi}_0$ is 
de enige eigenvector bij eigenwaarde $1$, 
alle andere eigenvectoren 
hebben eigenwaarde $0$.
Het eigenwaardenspectrum van $\hat{\rho}$ 
bestaat dus uit de niet-ontaarde waarde $1$ 
en de oneindig ontaarde waarde $0$. 
Hiermee is bewezen dat ${\rho}$ 
de eigenschappen van een 
dichtheidsoperator heeft.

\bigskip
\noindent
b. Een dichtheidsoperator ${\hat{\rho}}$ heeft  
een orthonormaal basis 
van eigenvectoren $\{ {\phi}_j \}$. 
Hieruit kan direct worden afgeleid 
dat voor het gemiddelde kan worden geschreven
$\langle \hat{A} 
\rangle = $ Tr $({\hat{\rho}}{\hat{A}}) = 
\sum_j {\rho}_j A_{jj} = 
\sum_j {\rho}_j ({\phi}_j, \hat{A} {\phi}_j)$,
met ${\rho}_j$ de eigenwaarden van $\hat{\rho}$. 
De hier ingevoerde $\hat{\rho}$ 
heeft \'{e}\'{e}n eigenvector ${\phi}_0$ 
bij eigenwaarde ${\rho}_0 = 1$, 
en verder 
alleen eigenvectoren bij eigenwaarde $0$. 
We kunnen een \mbox{bijbehorende} 
orthonormaal basis kiezen, 
met de gegeven ${\phi}_0$ als eerste vector. 
In de som 
$\sum_j {\rho}_j({\phi}_j, 
\hat{A}{\phi}_j)$ blijft dan 
alleen de term 
$({\phi}_0, \hat{A}{\phi}_0)$ over. 
We krijgen op deze manier dus als resultaat
$$
\langle \hat{A} \rangle = 
({\phi}_0, \hat{A}{\phi}_0).
$$

\bigskip
\noindent
c. Voor een oplossing ${\phi}_0(t)$ 
van de Schr\"{o}dinger-vergelijking geldt
\begin{eqnarray*}
& & \frac{d}{dt} ({\phi}_0(t), {\phi}_0(t)) =
\left( \frac{d}{dt} {\phi}_0(t), 
{\phi}_0(t) \right) +
\left( {\phi}_0(t), \frac{d}{dt} 
{\phi}_0(t) \right) =\\
& & = \left( -\frac{i}{\hbar} 
\hat{H} {\phi}_0(t), {\phi}_0 \right) + 
\left({\phi}_0(t), -\frac{i}{\hbar} 
\hat{H} {\phi}_0(t) \right) =\\
& & = \frac{i}{\hbar} \left[ ( 
\hat{H} {\phi}_0(t), {\phi}_0(t) ) -
({\phi}_0(t), \hat{H} {\phi}_0(t) ) \right],
\end{eqnarray*}
hetgeen $0$ is 
vanwege het hermitisch zijn van $\hat{H}$. 
Dit betekent dat de normering 
van ${\phi}_0(t)$ niet in de tijd verandert; 
${\phi}_0(t)$ is dus op elk tijdstip $t$ 
een fysische toestand 
die daarom volgens de gegeven procedure  
een dichtheidsoperator geeft.

\medskip
\noindent
De tijdsevolutie van ${\hat{\rho}}(t){\psi}$ 
wordt -- voor een willekeurige vector 
${\psi}$ in $\mathcal{H}$ --
gegeven door
\begin{eqnarray*}
& &\left( \frac{d}{dt} 
{\hat{\rho}}(t) \right) \! {\psi} = 
\frac{d}{dt} ({\hat{\rho}}(t){\psi}) = 
\frac{d}{dt} (({\phi}_0(t), 
{\psi}){\phi}_0(t) ) =\\
& & = \left( \frac{d}{dt} 
({\phi}_0(t), {\psi}) \right) {\phi}_0(t) +
({\phi}_0(t), \psi ) \left( 
\frac{d}{dt} {\phi}_0(t) \right) =\\
& & = \left( \frac{d}{dt} 
{\phi}_0(t), {\psi} \right) {\phi}_0(t) +
({\phi}_0(t), \psi ) \left( 
\frac{d}{dt} {\phi}_0(t) \right) =\\
& & = \frac{i}{\hbar}\left( 
(\hat{H} {\phi}_0(t) , {\psi} ){\phi}_0(t) -
({\phi}_0(t), {\psi})
 ( {\hat{H}}{\phi}_0(t)) \right) =\\
& & = \frac{i}{\hbar} \left(
 ({\phi}_0(t), {\hat{H}} {\psi} ) 
{\phi}_0(t) - {\hat{H}}( ( {\phi}_0(t) ,
 {\psi} ) {\phi}_0(t)) \right) =\\
& & = \frac{i}{\hbar} ( {\hat{\rho}} (t) 
{\hat{H}} {\psi} - {\hat{H}} 
{\hat{\rho}}(t) {\psi}) =
- \frac{i}{\hbar} 
[ \hat{H} , \hat{\rho} (t) ] {\psi}.
\end{eqnarray*}
Dit geldt voor iedere vector ${\psi}$ 
in $\mathcal{H}$, dus hebben we
$$
\frac{d}{dt} {\hat{\rho}}(t) = 
- \frac{i}{\hbar} [ \hat{H}, \hat{\rho} (t) ]
$$
als operatorvergelijking 
voor de tijdsafhankelijkheid 
van ${\hat{\rho}}(t)$.

\smallskip
\noindent
De dichtheidsoperator ${\hat{\rho}}(t)$ 
projecteert willekeurige vectoren $\psi$ 
in $\mathcal{H}$ op -- 
of liever in de richting van -- 
de vector ${\phi}_0(t)$. 
Voor een stationnaire ${\hat{\rho}}(t)$ 
moet daarom ${\phi}_0(t)$ 
op een fasefactor na gelijk aan 
${\phi}_0(0) = {\phi}_0$ zijn, 
m.a.w. ${\phi}_0$ moet 
een eigenvector van $\hat{H}$ zijn. 
Dus ${\phi}_0(t) = 
e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H} t}{\phi}_0$. 
Merk nog op dat deze fasefactor 
in de definitie van de bij ${\phi}_0(t)$ 
behorende dichtheidsoperator 
${\hat{\rho}}(t)$ wegvalt.


\bigskip
\noindent
d. De resultaten van deze opgave vertellen 
ons dat het idee van het berekenen 
van een gemiddelde met behulp 
van een dichtheidsmatrix, 
zoals dat in de quantum-statistische mechanica 
wordt gebruikt, 
het gewone begrip quantum-mechanische 
gemiddelde -- of {\lq verwachtingswaarde\rq}, 
gebaseerd op een toestands-vector, 
als bijzonder geval omvat. 
Daarbij is de in {\em Grondbegrippen \ldots}\, 
voor een dichtheidsmatrix 
gepostuleerde tijdsevolutie 
consistent met de gebruike-lijke tijdsontwikkeling 
van een toestandsvector 
als oplossing van de 
Schr\"{o}dinger-vergelijking.

\bigskip
\bigskip
\noindent
{\Large{OPGAVE 99-58}}

\bigskip
\noindent
De bedoeling van deze opgave is om te laten zien 
dat we, door naar een deelsysteem 
van een gegeven quantumsysteem te kijken, 
het begrip {\em dichtheidsoperator}\, 
of {\em dichtheidsmatrix}\, 
op een natuurlijke manier kunnen verkrijgen uit
het gewone begrip verwachtingswaarde.

\bigskip
\noindent
Bezie een quantummechanisch systeem 
${\mathcal{S}}^{\prime}$
met een Hilbert-ruimte ${\mathcal{H}}^{\prime}$ 
van toestanden ${\psi}^{\prime}({\vec{r}}^{\prime})$.
We hebben in ${\mathcal{S}}^{\prime}$ 
een orthonormaal basis 
$\{ {\phi}^{\prime}_1 ({\vec{r}}^{\prime}), 
{\phi}^{\prime}_2({\vec{r}}^{\prime}), \ldots \} $.
Het inwendig product in ${\mathcal{H}}^{\prime}$ 
is op de gebruikelijke manier gedefini\"{e}erd als
$$
({\psi}^{\prime}_1 , {\psi}^{\prime}_2)^{\prime} =
{\int} 
{{\psi}^{\prime}_1}^* ({\vec{r}}^{\prime})\,
{\psi}^{\prime}_2 ({\vec{r}}^{\prime}) \,
d{\vec{r}}^{\prime}.
$$
Een en ander betekent dat we een toestand 
${\psi}^{\prime}$ kunnen schrijven 
als ${\psi}^{\prime} = 
\sum_j \, c_j {\phi}^{\prime}_j$
en dat de matrix-elementen van een operator 
${\hat{A}}^{\prime}$ gegeven worden 
door middel van de formule 
$A^{\prime}_{jk} = 
({\phi}^{\prime}_j , 
{\hat{A}}^{\prime} {\phi}^{\prime}_k)^{\prime}$.

\medskip
\noindent
We bezien daarnaast een soortgelijk 
maar niet identiek tweede quantumsysteem
${\mathcal{S}}^{{\prime}{\prime}}$, 
met Hilbert-ruimte 
${\mathcal{H}}^{{\prime}{\prime}}$, 
toestandsfuncties 
${\psi}^{{\prime}{\prime}}
({\vec{r}}^{{\prime}{\prime}})$,
een orthonormaal basis 
$\{ {\phi}^{{\prime}{\prime}}_1 
({\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}), 
{\phi}^{{\prime}{\prime}}_2 
({\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}), \ldots \}$,
inwendig product
$$
({\psi}^{{\prime}{\prime}}_1 , 
{\psi}^{{\prime}{\prime}}_2)^{{\prime}{\prime}} =
\int 
{{\psi}^{{\prime}{\prime}}_1}^* 
({\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}) \,
{\psi}^{{\prime}{\prime}}_2 
({\vec{r}}^{{\prime}{\prime}})\,
d{\vec{r}}^{{\prime}{\prime}},
$$
etc..

\medskip
\noindent
We stellen deze twee systemen samen 
tot \'{e}\'{e}n quantumsysteem 
${\mathcal{S}}$
met een \mbox{toestandsruimte} ${\mathcal{H}}$, 
bestaande uit toestandsfuncties
${\psi}({\vec{r}}^{\prime}, 
{\vec{r}}^{{\prime}{\prime}})$ en
met inwendig product 
$$
({\psi}_1 , {\psi}_2)=
\int \! \int
{\psi}_1^* ({\vec{r}}^{\prime}, 
{\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}) \,
{\psi}_2 ({\vec{r}}^{\prime}, 
{\vec{r}}^{{\prime}{\prime}})\,
d{\vec{r}}^{\prime}
d{\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}.
$$
De orthonormaal bases 
in ${\mathcal{H}}^{\prime}$ 
en ${\mathcal{H}}^{{\prime}{\prime}}$ geven een 
orthonormaal basis $\{ {\phi}_{jk} \}$
in ${\mathcal{H}}$ volgens
$$
{\phi}_{jk} ({\vec{r}}^{\prime}, 
{\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}) = 
{\phi}^{\prime}_j({\vec{r}}^{\prime}) \,
{\phi}^{{\prime}{\prime}}_k
({\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}).
$$
Een willekeurige ${\psi}$ 
in ${\mathcal{H}}$ kan worden ontwikkeld als 
${\psi} = \sum_j \sum_k  c_{jk} {\phi}_{jk}$; 
de matrix-elementen 
van een operator ${\hat{A}}$ 
worden gegeven als $A_{jk;lm} 
= ({\phi}_{jk}, \hat{A} {\phi}_{lm})$.

\bigskip
\noindent
a. Een operator ${\hat{A}}^{\prime}$ 
in ${\mathcal{H}}^{\prime}$,  
met matrix-elementen 
$A^{\prime}_{jl} = 
({\phi}^{\prime}_j \, , 
{\hat{A}}^{\prime} {\phi}^{\prime}_l)^{\prime}$, 
geeft op een voor de hand liggende manier 
een operator in $\mathcal{H}$, 
die we eveneens aangeven 
als ${\hat{A}}^{\prime}$, 
en die de matrix-elementen 
$A_{jk;lm}^{\prime}$ heeft.
Druk deze $A_{jk;lm}^{\prime}$ 
uit in de $A^{\prime}_{jl}$.

\bigskip
\noindent
b. Een op \'{e}\'{e}n genormeerde 
toestandsfunctie ${\psi}$ in ${\mathcal{H}}$ 
geeft voor iedere oberva-bele grootheid, 
d.w.z. hermitische operator ${\hat{A}}$, 
een gemiddelde of verwach-tingswaarde 
$\langle \hat{A}  \rangle_{\psi}\, 
= (\psi , \hat{A} \psi )$. 
Druk $\langle \hat{A} \rangle$ in de matrix-elementen 
$A_{jk;lm}$ uit, door $\psi$ te ontwikkelen 
naar de $\{ {\phi}_{jk} \}$. 

\bigskip
\noindent
c. Doe het zelfde 
voor een operator ${\hat{A}}^{\prime}$, 
een operator die dus bij het deelsysteem 
${\mathcal{S}}^{\prime}$ hoort. 
Laat in het bijzonder zien dat dit een uitdrukking geeft 
van de vorm
$$
\langle  {\hat{A}}^{\prime} \rangle \, = 
\sum_j \sum_l \, {\rho}_{lj}^{\prime} 
{A}^{\prime}_{jl}.
$$

\bigskip
\noindent
d. We kunnen deze ${\rho}_{jk}^{\prime}$ opvatten 
als de matrix-elementen van een operator 
in ${\mathcal{H}}^{\prime}$, 
ten opzichte van de ${\phi}^{\prime}_j$. 
Laat zien dat deze matrix de eigenschappen 
van een {\em dichtheidsmatrix}\, heeft, 
d.w.z. (1) hermitisch is, 
(2) alleen eigenwaarden heeft die positief of nul zijn, 
en (3) spoor $1$ heeft. 
(Aanwijzing voor (2): bewijs eerst
dat alle eigenwaarden 
van een hermitische operator ${\hat{B}}$ 
positief of nul zijn 
als $({\psi}, \hat{B} {\psi} ) \geq 0$, 
voor alle ${\psi}$.) 

\bigskip
\noindent
e. Geef in woorden een algemene fysische 
interpretatie van hetgeen 
in deze opgave gevonden is.

\medskip
\bigskip
\noindent
{\Large{UITWERKING VAN OPGAVE 99-57}}

\bigskip
\noindent
a. De operator ${\hat{A}}^{\prime}$ in 
${\mathcal{H}}^{\prime}$ 
defini\"{e}ert op een voor de hand liggende manier 
een operator in $\mathcal{H}$: 
in termen van de basis $\{ {\phi}_{jk} \}$ 
werkt deze nieuwe ${\hat{A}}^{\prime}$ als
$$
({\hat{A}}^{\prime}{\phi}_{jk}) 
({\vec{r}}^{\prime}, {\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}) =
({\hat{A}}^{\prime}
{\phi}_j^{\prime})({\vec{r}}^{\prime}) \, 
{\phi}_k^{{\prime}{\prime}}
({\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}).
$$
Dit geeft voor het gevraagde matrix-element
\begin{eqnarray*}
& & A^{\prime}_{jk;lm} =
\int \! \int {\phi}^*_{jk} ({\vec{r}}^{\prime} , 
{\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}) \,
({\hat{A}}^{\prime} {\phi}_{lm}) 
({\vec{r}}^{\prime}, 
{\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}) \,
d{\vec{r}}^{\prime} 
d{\vec{r}}^{{\prime}{\prime}} =\\
& & = \int \!\int 
{\phi}^{{\prime}*}_j({\vec{r}}^{\prime}) \,
{\phi}^{{\prime}{\prime}*}_k 
({\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}) \,
({\hat{A}}^{\prime}{\phi}^{\prime}_l) 
({\vec{r}}^{\prime}) \,
{\phi}^{{\prime}{\prime}}_m 
({\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}) \,
d{\vec{r}}^{\prime}
d{\vec{r}}^{{\prime{}\prime}} =\\
& & = 
\left( \int {\phi}^{{\prime}*}_j 
({\vec{r}}^{\prime}) \,
({\hat{A}}^{\prime} {\phi}^{\prime}_l 
({\vec{r}}^{\prime}) \,
d{\vec{r}}^{\prime} \right) \,
\left( \int {\phi}^{{\prime}{\prime}*}_k 
({\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}) 
{\phi}^{{\prime}{\prime}}_m 
({\vec{r}}^{{\prime}{\prime}}) \,
d{\vec{r}}^{{\prime}{\prime}} \right) =\\
& & = ({\phi}^{\prime}_j, 
{\hat{A}}^{\prime} {\phi}^{\prime}_l )^{\prime} \,
({\phi}^{{\prime}{\prime}}_k, 
{\phi}^{{\prime}{\prime}}_m)^{{\prime}{\prime}} =
A^{\prime}_{jl} \, {\delta}_{km}.
\end{eqnarray*}

\bigskip
\noindent
b. We ontwikkelen ${\psi}$ 
als $\psi = \sum_{jk} c_{jk} {\phi}_{jk}$. 
Hiermee berekenen we
\begin{eqnarray*}
& & \langle \hat{A} \rangle_{\psi} =
( {\psi}, \hat{A} {\psi} ) =
\Big( \sum_{jk} c_{jk} {\phi}_{jk}, \,
\hat{A} \sum_{lm} c_{lm} {\phi}_{lm} \Big) =\\
& & = \sum_{jk} \sum_{lm} 
c_{jk}^* c_{lm} ({\phi}_{jk}, 
{\hat{A}} {\phi}_{lm} ) =
\sum_{jk} \sum_{lm} c^*_{jk} c_{lm} A_{jk;lm}.
\end{eqnarray*}

\bigskip
\noindent
c. Combinatie van de resultaten van a en b geeft
\begin{eqnarray*}
& & \langle {\hat{A}}^{\prime} \rangle_{\psi}  = 
\sum_{jk} \sum_{lm} \, c^*_{jk} c_{lm} A_{jk;lm} =
\sum_{jk} \sum_{lm} \, 
c^*_{jk} c_{lm} A^{\prime}_{jl} {\delta}_{km}=\\
& & = \sum_{jl} 
\Big( \sum_k c^*_{jk} c_{lk} \Big) A^{\prime}_{jl} = 
\sum_{jl} {\rho}_{jl}^{\prime} A^{\prime}_{jl},
\end{eqnarray*}
met 
$$
{\rho}_{jl}^{\prime} = \sum_k c^*_{jk} c_{lk}.
$$

\bigskip
\noindent
d. We bewijzen dat ${\rho}_{lj}^{\prime}$ 
de eigenschappen van een dichtheidsmatrix heeft:

\bigskip
\noindent
(1) Er geldt, 
met $*$ steeds complexe conjugatie van getallen,
$$
\left( {\rho}_{lj}^{\prime} \right)^* =
\left( \sum_k \, c^*_{jk}c_{lk} \right)^* =
\sum_k \, c_{jk}c^*_{lk} =
\sum_k \, c^*_{lk} c_{jk} =
{\rho}_{jl}^{\prime},
$$
hetgeen bewijst 
dat de matrix ${\rho}_{lj}^{\prime}$ 
{\em hermitisch}\, is.

\bigskip
\noindent
(2) Alle eigenwaarden 
van een hermitische operator $\hat{B}$ 
zijn positief of nul als voor alle ${\psi}$ geldt
$({\psi}, {\hat{B}}{\psi}) \geq 0$. 
Het bewijs van deze bewering is zeer eenvoudig: 
als $({\psi}, {\hat{B}}{\psi}) \geq 0$ 
voor {\em alle}\,  ${\psi}$, 
dan geldt dat in het bijzonder 
voor een (op \'{e}\'{e}n genormeerde) 
eigenvector ${\phi}$. 
Voor de bij ${\phi}$ behorende eigenwaarde $\beta$ 
hebben we
$$
({\phi}, {\hat{B}}{\phi}) = ({\phi}, {\beta}{\phi}) 
= {\beta}({\phi}, {\phi}) = {\beta}.
$$ 
Daarmee is bewezen dat alle eigenwaarden 
van ${\hat{B}}$ positief of nul zijn.

\bigskip
\noindent
Bij de matrix ${\rho}_{jl}^{\prime}$ 
hoort een operator  
${\hat{\rho}}^{\prime}$ in ${\mathcal{H}}^{\prime}$ 
volgens $({\phi}^{\prime}_l , {\hat{\rho}}^{\prime} 
{\phi}^{\prime}_j)^{\prime} = {\rho}_{lj}^{\prime}$.
Bezie een willekeurige vector 
${\psi}^{\prime}$ in ${\mathcal{H}}^{\prime}$. 
Deze kan geschreven worden als 
${\psi}^{\prime} = 
\sum_l \, {\xi}_l^{\prime} {\phi}^{\prime}_l$.
Voor het inwendig product 
$({\psi}^{\prime}, 
{\hat{\rho}}^{\prime}{\psi}^{\prime})$ 
vinden we
\begin{eqnarray*}
& & \left(
\left(
{\sum}_l \, {\xi}_l^{\prime} {\phi}^{\prime}_l \right) , 
{\hat{\rho}}^{\prime} \left( {\sum}_j \, 
{\xi}_j^{\prime} {\phi}^{\prime}_j \right)
\right) =  
{\sum}_{lj} \, {\xi}^{{\prime}*}_l
{\xi}_j^{\prime} ({\phi}^{\prime}_l , 
{\hat{\rho}}^{\prime} {\phi}^{\prime}_j ) = 
\sum_{lj} \, {\xi}^{{\prime}*}_l 
{\xi}_j^{\prime} {\rho}_{lj}^{\prime} =\\
& & = \sum_{lj} \, 
{\xi}^{{\prime}*}_l{\xi}_j^{\prime} 
\Big( \sum_k \, c^*_{jk}c_{lk} \Big) =
\sum_{jkl} \, {\xi}^{{\prime}*}_l 
{\xi}_j^{\prime} c^*_{jk} c_{lk} =\\
& & = \sum_k \, 
\Big( \sum_l \, {\xi}^{{\prime}*}_l c_{lk} \Big)
\Big( \sum_j \, {\xi}_j^{\prime} c^*_{jk} \Big) =
\sum_k \, \Big| \sum_l 
 {\xi}^{{\prime}*}_l c_{lk} \Big|^2
\, \geq \, 0.
\end{eqnarray*}
Hieruit volgt dat eigenwaarden 
van de operator ${\hat{\rho}}^{\prime}$, 
en dus ook van de matrix ${\rho}_{lj}^{\prime}$, 
positief of nul zijn, 
hetgeen we wilden bewijzen.

\bigskip
\noindent
(3) We nemen voor ${\hat{A}}^{\prime}$ 
de eenheidsoperator 
$1^{\prime}$ in ${\mathcal{H}}^{\prime}$. 
Dit substitueren we in het resultaat van c. 
We vinden dan
$$
\langle 1^{\prime} \rangle_{\psi} = 
({\psi}, 1^{\prime} \, {\psi}) = 
\sum_{jl} \, {\rho}_{lj}^{\prime}{\delta}_{jl} =
\sum_j \, {\rho}_{jj}^{\prime} = 1.
$$
Dit betekent dat het spoor 
van de matrix ${\rho}_{lj}^{\prime}$ 
gelijk is aan $1$, 
hetgeen we nog moesten bewijzen.

\medskip
\noindent
Hiermee hebben we aangetoond dat de matrix 
${\rho}_{lj}^{\prime}$ de drie eigenschappen heeft 
van een dichtheidsmatrix.

\bigskip
\noindent
e. Fysische interpretatie: 
In {\em deze}\, situatie blijken 
de gemiddelden die we voor de observabelen 
van een gegeven quantumsysteem 
met behulp van een dichtheids-matrix berekenen 
te kunnen worden opgevat als afkomstig te zijn 
van gewone verwachtingswaarden 
ten opzichte van \'{e}\'{e}n toestandsfunctie 
in een groter systeem dat het gegeven systeem omvat.

\end{document}










